Question

15．已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边长分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．
（1）如图①，当∠MAN点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：AH=AB；
（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；
（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．

Answer 1

分析 （1）由三角形全等可以证明AH=AB，
（2）延长CB至E，使BE=DN，证明△AEM≌△ANM，能得到AH=AB，
（3）分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，然后分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCE，设AH=x，则MC=x-2，NC=x-3，在Rt△MCN中，由勾股定理，解得x．

解答 解：（1）如图①AH=AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D=90°，
在△ABM与△ADN中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠B=∠D}\\{BM=DN}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ADN，
∴∠BAM=∠DAN，AM=AN，
∵AH⊥MN，
∴∠MAH=$\frac{1}{2}$MAN=22.5°，
∵∠BAM+∠DAN=45°，
∴∠BAM=22.5°，
在△ABM与△AHM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAM=∠HAM}\\{∠B=∠AHM=90°}\\{AM=AM}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△AHM，
∴AB=AH；
故答案为：AH=AB；

（2）数量关系成立．如图②，延长CB至E，使BE=DN．
∵ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠D=∠ABE=90°，
在Rt△AEB和Rt△AND中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABE=∠ADN}\\{BE=DN}\end{array}\right.$，
∴Rt△AEB≌Rt△AND，
∴AE=AN，∠EAB=∠NAD，
∴∠EAM=∠NAM=45°，
在△AEM和△ANM中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=AN}\\{∠EAM=∠NAM}\\{AM=AM}\end{array}\right.$，
∴△AEM≌△ANM，
∴S_△AEM=S_△ANM，EM=MN，
∵AB、AH是△AEM和△ANM对应边上的高，
∴AB=AH；

（3）如图③分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，
∴BM=2，DN=3，∠B=∠D=∠BAD=90°，
分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCD，
由（2）可知，AH=AB=BC=CD=AD，
设AH=x，则MC=x-2，NC=x-3，
在Rt△MCN中，由勾股定理，得MN²=MC²+NC²，
∴5²=（x-2）²+（x-3）²，
解得x₁=6，x₂=-1（不符合题意，舍去）
∴AH=6．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，翻折的性质，此题比较典型，具有一定的代表性，且证明过程类似，同时通过做此题培养了学生的猜想能力和类比推理能力．