Question

6．如图，直线l与x轴相交于点A（-2，0），与y轴相交于点B，∠BAO=60°．
（1）求直线l的解析式；
（2）以点O为圆心，半径为2作圆，判断⊙O与直线l的位置关系；
（3）直接写出△ABO的外接圆圆心O′的坐标．（不必写出过程）

Answer 1

分析 （1）由已知得出OA=2，在Tt△AOB中，由三角函数求出OB=OA•tan60°=2$\sqrt{3}$，得出B（0，2$\sqrt{3}$）；设直线l的解析式为y=kx+b，把A（-2，0），B（0，2$\sqrt{3}$）代入得出方程组，解方程组即可；
（2）作OD⊥AB于D，求出∠ABO=30°，由含30°角的直角三角形的性质求出AB=2OA=4，由△AOB的面积=$\frac{1}{2}$AB•OD=$\frac{1}{3}$OA•OB，求出OD=$\sqrt{3}$，得出d＜r即可；
（3）由Rt△ABO的外接圆圆心O′为AB的中点，即可得出圆心O′的坐标．

解答 解：（1）∵A（-2，0），
∴OA=2，
在Tt△AOB中，∵∠BAO=60°，
∴OB=OA•tan60°=2×$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
∴B（0，2$\sqrt{3}$）；
设直线l的解析式为y=kx+b，
把A（-2，0），B（0，2$\sqrt{3}$）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{b=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得：k=$\sqrt{3}$，b=2$\sqrt{3}$，
∴直线l的解析式为y=$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$；
（2）作OD⊥AB于D，如图所示：
∵∠AOB=90°，∠BAO=60°，
∴∠ABO=30°，
∴AB=2OA=4，
∵△AOB的面积=$\frac{1}{2}$AB•OD=$\frac{1}{3}$OA•OB，
∴OD=$\frac{OA•OB}{AB}$=$\frac{2×2\sqrt{3}}{4}$=$\sqrt{3}$，
∵⊙O的半径r=2＞$\sqrt{3}$，即d＜r，
∴⊙O与直线l相交；
（3）∵△ABO是直角三角形，OA=2，OB=2$\sqrt{3}$，
∴△ABO的外接圆圆心O′为AB的中点，
∴△ABO的外接圆圆心O′的坐标为（-1，$\sqrt{3}$）．

点评 本题是圆的综合题目，考查了待定系数法求直线的解析式、三角函数、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质、直角三角形的外接圆等知识；本题综合性强，难度适中，由三角形的面积求出OD是解决问题（2）的关键．