Question

14．已知，函数y=（m+1）x²-（m-4）x+（m-5）的图象过点A（-6，7）．
（1）求此函数的关系式；
（2）求该函数图象与x轴的两个交点B、C与顶点P所围成的△BPC面积是27；
（3）观察函数图象，指出当-3＜x＜1时y的取值范围是-9≤y＜0．
（4）若A（m-1，y₁），B（m+1，y₂）两点都在该二次函数的图象上，试比较y₁与y₂的大小．

Answer 1

分析 （1）将点A（-6，7）代入y=（m+1）x²-（m-4）x+（m-5），得到关于m的方程，解方程求出m的值即可；
（2）根据（1）中所求解析式，求出B、C、P的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出△BPC的面积；
（3）由顶点P的横坐标为-2，可得-3＜x＜1时y的最小值是顶点纵坐标的值，再根据二次函数的性质求出最大值即可求解；
（4）先将（1）中所求m的值代入得出A、B两点的坐标，再根据二次函数的性质即可求解．

解答 解：（1）∵函数y=（m+1）x²-（m-4）x+（m-5）的图象过点A（-6，7），
∴7=（m+1）×（-6）²-（m-4）×（-6）+（m-5），
解得m=0，
则此函数的关系式为y=x²+4x-5；

（2）∵y=x²+4x-5，
∴y=0时，x²+4x-5=0，
解得x=-5或1，
∴该函数图象与x轴的两个交点B、C的坐标为（-5，0），（1，0）．
∵y=x²+4x-5=（x+2）²-9，
∴顶点P的坐标是（-2，-9），
∴△BPC的面积是：$\frac{1}{2}$×6×9=27；

（3）∵y=x²+4x-5=（x+2）²-9，
∴对称轴是x=-2，
∴当-3＜x＜1时，y的最小值是-9，
当x=1时，y的最大值是（1+2）²-9=0，
∴当-3＜x＜1时y的取值范围是-9≤y＜0；

（4）∵m=0，
∴A（-1，y₁），B（1，y₂），
∵y=x²+4x-5的对称轴是x=-2，抛物线开口向上，
∴当x＞-2时，y随x的增大而增大，
∵-2＜-1＜1，
∴y₁＜y₂．
故答案为27；-9≤y＜0．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，正确求出函数的解析式是解题的关键．