Question

19．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A的平分线与BC相交于点D，点E在AB上，DE=DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D．
（1）AC与⊙D相切吗？
（2）你能找到AB、BE、AC之间的数量关系吗？

Answer 1

分析 （1）过D作DF⊥AC于F，如图，利用角平分线的性质定理可得到DF=DB，则根据切线的判定方法可判断AC是⊙D的切线；
（2）先判断AB是圆D的切线，则根据切线长定理得到AB=AF，再证明△BDE≌△FDC得到BE=CF，于是得到AC=AF+CF=AB+BE．

解答 解：（1）AC与⊙D相切．理由如下：
过D作DF⊥AC于F，如图，
∵AD平分∠BAC，∠B=∠AFD=90°，
∴DF=DB，
∴AC是⊙D的切线；
（2）∵∠B=90°，DB为半径，
∴AB是圆D的切线，
∴AB=AF，
在Rt△BDE与Rt△FDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=CD}\\{DB=DF}\end{array}\right.$
∴△BDE≌△FDC（HL），
∴BE=CF，
∴AC=AF+CF=AB+BE．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．灵活应用角平分线的性质定理和运用全等三角形的知识解决线段相等的问题．