Question

9．问题情境：如图1，AB∥CD，判断∠ABP，∠CDP，∠BPD之间的数量关系．
小明的思路：如图2，过点P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠ABP+∠CDP+∠BPD=360°．
问题迁移：AB∥CD，直线EF分别与AB，CD交于点E，F，点P在直线EF上（点P与点E，F不重合）运动．
（1）当点P在线段EF上运动时，如图3，判断∠ABP，∠CDP，∠BPD之间的数量关系，并说明理由；
（2）当点P不在线段EF上运动时，（1）中的结论是否成立，若成立，请你说明理由；若不成立，请你在备用图上画出图形，并直接写出∠ABP，∠CDP，∠BPD之间的数量关系．

Answer 1

分析 （1）过P作PQ∥AB，推出AB∥PQ∥CD，根据平行线性质得出∠BPQ=∠B，∠D=∠DPQ，求出即可；
（2）过P作PQ∥AB，推出AB∥PQ∥CD，根据平行线性质得出∠BPQ=∠B，∠D=∠DPQ，求出即可．

解答 解：∵过点P作PE∥AB，
则PE∥CD，
∴∠B+∠BPE=∠D+∠DPE=180°，
∴∠ABP+∠CDP+∠BPD=360°，
故答案为：360；

（2）∠ABP+∠CDP=∠BPD；
证明：如图②，过P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PQ∥CD，
∴∠B=∠1，∠D=∠2，
∴∠BPD=∠1+∠2=∠B+∠D；

（3）不成立，关系式是：∠B-∠D=∠BPD，或∠D-∠B=∠BPD，
理由：如图4，过P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PQ∥CD，
∴∠BPQ=∠B，∠D=∠DPQ，
∴∠B-∠D=∠BPQ-∠DPQ=∠BPD，
∠BPQ=∠B-∠D．
如图5，同理∠D-∠B=∠BPD．

点评 本题考查了平行线性质的应用，在解答此题时要注意作出辅助线，构造出平行线求解．