Question

20．在?ABCD中，AB=6，AD=8，∠ABC=60°，点E是AB的中点，EF⊥AB交BC于F，连接DF，则DF的长为2$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 连接AF，作FM⊥AD于M，先证明△ABF是等边三角形，在RT△AFM中利用勾股定理求出AM、FM，在RT△DMF中利用勾股定理求出DF即可．

解答 解：连接AF，作FM⊥AD于M．
∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=60°，
∴∠BAD=180°-∠B=120°，
∵EF⊥AB，
∴∠FEB=90°，
∵EB=EA=3，∠B=60°，
∴BF=2BE=6=AB，
∴△ABF是等边三角形，
∴∠BAF=60°，AF=AB=6，
∵∠AMF=90°，∠MAF=∠BAD-∠BAF=60°，AF=6，
∴AM=$\frac{1}{2}$AF=3，FM=3$\sqrt{3}$，
在RT△FMD中，∵∠FMD=90°，MF=3$\sqrt{3}$，MD=AD-AM=5，
∴DF=$\sqrt{F{M}^{2}+D{M}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+（3\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{13}$．
故答案为2$\sqrt{13}$．

点评 本题考查平行四边形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，属于中考常考题型．