Question

7．如图，已知在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若∠EAF=60°，CE=3cm，FC=1cm，求AB，BC的长及ABCD面积．

Answer 1

分析 根据AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF=60°，可以得到∠C的度数，由四边形ABCD是平行四边形可以得到∠B、∠D的度数，然后根据解直角三角形的相关知识可以求得AB、BC的长，根据特殊角的三角函数可以求得AE的长，由平行四边形的面积等于底乘以高，可以求得四边形ABCD的面积．

解答 解：∵AE⊥BC，AF⊥CD，∠EAF=60°，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
∴∠C=360°-∠AEC-∠EAF-∠AFC=120°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C+∠B=180°，
∴∠B=60°，
∴∠BAE=30°，
∴AB=2BE，
设BE=a，则AB=2a，
∵CE=3cm，FC=1cm，
∴DF=2a-1，
又∵∠AFD=90°，∠D=60°，
∴∠DAF=30°，
∴AD=2DF=4a-2，
∵AD=BC=a+3，
解得a=$\frac{5}{3}$，
∴AB=2a=$\frac{10}{3}$，BC=a+3=$\frac{5}{3}+3=\frac{14}{3}$，
∵∠AEB=90°，AB=$\frac{10}{3}$，BE=$\frac{5}{3}$，
∴AE=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，
∴平行四边形ABCD的面积是：BC•AE=$\frac{14}{3}×\frac{5\sqrt{3}}{3}=\frac{70\sqrt{3}}{9}$，
即AB的长是$\frac{10}{3}$cm，BC的长是$\frac{14}{3}$cm，平行四边形ABCD的面积是$\frac{70\sqrt{3}}{9}c{m}^{2}$．

点评 本题考查平行四边形的性质、平行四边形的面积，30°角所对的直角边和斜边的关系，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．利用数形结合的思想解答问题．