Question

9．已知x₁，x₂是关于x的一元二次方程x²-4mx+4m²-9=0的两实数根．
（1）若这个方程有一个根为-1，求m的值；
（2）若这个方程的一个根大于-1，另一个根小于-1，求m的取值范围；
（3）已知直角△ABC的一边长为7，x₁，x₂恰好是此三角形的另外两边的边长，求m的值．

Answer 1

分析 （1）把x=-1代入方程，列出m的一元二次方程，求出m的值；
（2）首先用m表示出方程的两根，然后列出m的不等式组，求出m的取值范围；
（3）首先用m表示出方程的两根，分直角△ABC的斜边长为7或2m+3，根据勾股定理求出m的值．

解答 解：（1）∵x₁，x₂是关于x的一元二次方程x²-4mx+4m²-9=0的两实数根，这个方程有一个根为-1，
∴4m+1=-（4m²-9）
∴m=1或m=-2；
（2）∵x²-4mx+4m²=9，
∴（x-2m）²=9，即x-2m=±3，
∴x₁=2m+3，x₂=2m-3，
∵2m+3＞2m-3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2m+3＞-1}\\{2m-3＜-1}\end{array}\right.$，解得-2＜m＜1；
（3）由（2）知道方程x²-4mx+4m²-9=0的两根分别为2m+3，2m-3，
若直角△ABC的斜边长为7，则有49=（2m+3）²+（2m-3）²，解得m=±$\frac{\sqrt{62}}{4}$，
∵边长必须是正数，
∴m=$\frac{\sqrt{62}}{4}$，
若斜边为2m+3，则（2m+3）²=（2m-3）²+7²，解得m=$\frac{49}{24}$，
综上m=$\frac{\sqrt{62}}{4}$或m=$\frac{49}{24}$．

点评 本题主要考查了根的判别式与根与系数的关系的知识，解答本题的关键是熟练掌握根与系数关系以及根的判别式的知识，此题难度一般．