Question

7．如图，在△ABC中，∠B=45°，∠ACB=30°，点D是BC上一点，连接AD，过点A作AG⊥AD，点F在线段AG上，延长DA至点E，使AE=AF，连接EG，CG，DF，若EG=DF，点G在AC的垂直平分线上，则$\frac{AB}{CG}$的值为$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．

Answer 1

分析 过点A作AH⊥BC于点H，过点G作GK⊥BC于K，过点A作AL⊥GK于点L，取AC中点M，连接GM．首先证明Rt△ADF≌Rt△AGE，△ADH≌△AGL≌△AGM，推出∠DAH=∠GAM=∠GAL=∠ACG=15°，设AH=a，则CD=AC=2a，CH=$\sqrt{3}$a，分别用a表示AB、CG即可解决问题．

解答 解：过点A作AH⊥BC于点H，过点G作GK⊥BC于K，过点A作AL⊥GK于点L，取AC中点M，连接GM．
∵AG⊥DE，
∴∠DAF=∠EAG=90°
在Rt△ADF和Rt△AGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AE}\\{DF=EG}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADF≌Rt△AGE，
∴AD=AG，
∵∠AHK=∠ALK=∠LKH=90°，
∴四边形AHKL是矩形，
∴∠DAG=∠HAL=90°，
∴∠DAH=∠GAL，∵∠AHD=∠ALG=90°，
∴△ADH≌△AGL，
∴AH=AL，
在Rt△ACH中，∵∠ACH=30°，
∴AH=AL=$\frac{1}{2}$AC=AM，
∵AG=AG，∠ALG=∠AMG=90°，
∴Rt△AGM≌Rt△AGL，
∴∠GAL=∠GAM，
∵AL∥BC，
∴∠CAL=∠ACH=30°，
∴∠GAL=∠GAM=15°，
∴∠DAH=∠GAL=15°，
∴∠CAD=∠CDA=75°，
∴AC=AD，设AH=a，则CD=AC=2a，CH=$\sqrt{3}$a，
∴LG=DH=CD-CH=2a-$\sqrt{3}$a，
∴GK=LK-LG=（$\sqrt{3}$-1）a，
∵GA=GC，
∴∠GAC=∠GCA=15°，
∴∠GCK=45°，
∴CG=$\sqrt{2}$KG=（$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$）a，∵AB=$\sqrt{2}$AH=$\sqrt{2}$a，
∴$\frac{AB}{CG}$=$\frac{\sqrt{2}a}{（\sqrt{6}-\sqrt{2}）a}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．
故答案为$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、勾股定理、30度角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质的等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．