Question

12．【材料阅读】阅读下列一段文字，然后回答下列问题．
已知平面内两点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则这两点间的距离可用下列公式计算：
MN=$\sqrt{{（x}_{1}{-x}_{2}）^{2}+{（y}_{1}{-y}_{2}）^{2}}$．
例如：已知P（3，1）、Q（1，-2），则这两点间的距离PQ=$\sqrt{（3-1）^{2}+（1+2）^{2}}$=$\sqrt{13}$
【直接应用】
（1）已知A（2，-3）、B（-4，5），试求A、B两点间的距离；
（2）已知△ABC的顶点坐标分别为A（0，4）、B（-1，2）、C（4，2），你能判定△ABC的形状吗？请说明理由．
【深度应用】
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x²-4的图象与x轴相交于两点A、B，（点A在点B的左边）
①求点A、B的坐标；
②设点P（m，n）是以点C（3，4）为圆心，1为半径的圆上一动点，求PA²+PB²的最大值．

Answer 1

分析 （1）依据两点间的距离公式可求得AB的长；
（2）依据两点间的距离公式可求得AB、AC、BC的长，然后依据勾股定理的逆定理可对△ABC的形状作出判断；
（3）①令y=0得：x²-4=0，解得x=2或x=-2，故此可得到A，B的坐标；②首先依据两点间的距离公式表示出PA²+PB²的长，通过化简可得到PA²+PB²=2PO²+8，然后求得OP的最大值，从而可得到问题的答案．

解答 解：（1）AB=$\sqrt{[2-（-4）]^{2}+（-3-5）^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10．

（2）AB²=（-1-0）²+（2-4）²=1+4=5；
AC²=（0-4）²+（4-2）²=16+4=20；BC²=（-1-4）²+（2-2）²=25，
∴BC²=AB²+AC²．
∴△ABC为直角三角形．

（3）①令y=0得：x²-4=0，解得x=2或x=-2，
∴A（-2，0），B（2，0）．
②PA²+PB²=（m+2）²+n²+（m-2）²+n²=2（m²+n²）+8=2PO²+8．
当OP过圆心C时，PO最大，最大值=OC+PC=5+1=6．
因此PA²+PB²最大值为2×6²+8=80．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合、两点间的距离公式，依据两点间的距离公式得到PA²+PB²=2PO²+8是解题的关键．