Question

5．观察下列各式：
$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$=（$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）=1-$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$．
$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$=（$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$．
…
（1）试求$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\frac{1}{4×5}$的值．
（2）试计算$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{{n×（{n+1}）}}$（n为正整数）的值．

Answer 1

分析 （1）根据已知等式得到拆项规律，原式变形后计算即可得到结果；
（2）原式利用拆项法变形，计算即可得到结果．

解答 解：（1）原式=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$=1-$\frac{1}{5}$=$\frac{4}{5}$；
（2）原式=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+..+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

点评 此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．