Question

如图，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的内切圆，它与AB，BC，CA分别相切于点D、E、F．若∠ACB=90°，AB=AC=2，求圆的半径．

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心

专题：计算题

分析：连结OD、OE、OF，设⊙O的半径为r，先根据等腰直角三角形的性质得BC=

2

AB=2

2

，再根据切线的性质得OD⊥AB，OF⊥AC，接着证明四边形ADOF为正方形，得到AD=AF=OD=r，则BD=2-r，CF=2-r，然后根据切线长定理得BE=BD=2-r，CE=CF=2-r，所以2-r+2-r=2

2

，再解方程即可．

解答：解：连结OD、OE、OF，设⊙O的半径为r，
在Rt△ABC中，∵∠CAB=90°，AB=AC=2，
∴BC=

2

AB=2

2

，
∵⊙O与AB，CA分别相切于点D、F，
∴OD⊥AB，OF⊥AC，
∵∠A=90°，
∴四边形ADOF为矩形，
∵OD=OF，
∴四边形ADOF为正方形，
∴AD=AF=OD=r，
∴BD=2-r，CF=2-r，
∵⊙O与BC相切于点E，
∴BE=BD=2-r，CE=CF=2-r，
∴2-r+2-r=2

2

，
∴r=2-

2

，
即⊙O的半径为2-

2

．

点评：本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查了切线长定理．