Question

如图，等腰Rt△ABC的直角边长为2

2

，点O为斜边AB的中点，点P为AB上任意一点，连接PC，以PC为直角边作等腰Rt△PCD，连接BD．
（1）求证：

PC

CD

=

CO

CB

；
（2）请你判断AC与BD有什么位置关系？并说明理由．
（3）当点P在线段AB上运动时，设AP=x，△PBD的面积为S，求S与x之间的函数关系式．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）根据△ABC为等腰直角三角形，可推出△BCO为等腰直角三角形，则 

OC

BC

=

2

2

，再根据△PCD为等腰直角三角形，
得

PC

CD

=

2

2

，从而得出结论

PC

CD

=

CO

CB

；
（2）由（1）的结论可得出∠PCO=∠BCD，再由

PC

CD

=

CO

CB

，可证明△PCO∽△DCB，从而得出∠ABD=∠BAC，根据平行线的判定定理可得出AC∥BD；
（3）分两种情况讨论：①当点P在线段AO上时，作PE⊥BD，如图1，根据△ABC为等腰直角三角形，得AB=4，PO=2-x，BP=4-x，
可证明△PCO∽△DCB，得

CO

CB

=

PO

BD

，可得出BD=

2

（2-x），再得出PE=

2

2

（4-x），即可得出S与x的解析式S=

1

2

x²-3x+4；
②当点P在线段BO上时，作PE⊥BD，如图2，可知：OP=x-2，BP=4-x，再根据△PCO∽△DCB，可得

CO

CB

=

PO

BD

，得出BD=

2

（x-2），得PE=

2

2

（4-x），即可得出S与x的解析式S=-

1

2

x²+3x-4．

解答：解：（1）∵△ABC为等腰直角三角形，
∴O是AB的中点
∴∠OCB=∠CBO=45°，∠COB=∠AOC=90°，
∴△BCO为等腰直角三角形，
∴

OC

BC

=

2

2

，
∵△PCD为等腰直角三角形
∴∠PCD=45°，

PC

CD

=

2

2

，
∴

PC

CD

=

CO

CB

；

（2）由（1）可知：
∴∠PCO+∠OCD=∠BCD+∠OCD=45°，
∴∠PCO=∠BCD，
又∵

PC

CD

=

CO

CB

，
∴△PCO∽△DCB，
∴∠CBD=∠AOC=90°，
∴∠ABD=∠BAC=45°，
∴AC∥BD；

（3）分两种情况讨论：
①当点P在线段AO上时，
作PE⊥BD，如图1，
∵AC=BC=2

2

，△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=2AO=2BO=4，
∴PO=2-x，BP=4-x，
∵△PCO∽△DCB，
∴

CO

CB

=

PO

BD

，
即：

2

2 2

=

2-x

BD

，
∴BD=

2

（2-x），
∵∠PBE=45°，
∴PE=

2

2

（4-x），
∴S=

1

2

•

2

（2-x）•

2

2

（4-x）=

1

2

x²-3x+4，
②当点P在线段BO上时，
作PE⊥BD，如图2，
可知：OP=x-2，BP=4-x，
∵△PCO∽△DCB
∴

CO

CB

=

PO

BD

，
即：

2

2 2

=

x-2

BD

，
∴BD=

2

（x-2），
∵∠PBE=45°，
∴PE=

2

2

（4-x），
∴S=

1

2

•

2

（x-2）•

2

2

（4-x）=-

1

2

x²+3x-4．

点评：本题考查了相似形的综合题以及等腰三角形的性质、勾股定理和函数解析式的确定，是中考的重点，要认真把握每一个知识点及它们之间的联系．