Question

如图，E是矩形ABCD的边BC上的一点，EF⊥AE，EF分别交AC，CD于点M，F，BG⊥AC，垂足为G，BG交AE于点H．
（1）求证：△ABE∽△ECF；
（2）找出与△ABH相似的三角形，并证明．

Answer 1

考点：矩形的性质,相似三角形的判定与性质

专题：计算题

分析：（1）由四边形ABCD为矩形，得到两个角为直角，再由AE垂直于EF，得到一对角互余，利用同角的余角相等得到∠BAE=∠CEF，利用两对对应角相等的三角形相似即可得证；
（2）△ABH∽△ECM，理由为：由BG垂直于AC，且AB垂直于BC，利用同角的余角相等得到∠ABH=∠ECM，再由∠BAE=∠CEF，利用两对对应角相等的三角形相似即可得证．

解答：（1）证明：∵矩形ABCD，
∴∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠AEB+∠BAE=90°，
∵EF⊥AE，
∴∠AEB+∠CEF=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
∴△ABE∽△ECF；
（2）△ABH∽△ECM，理由为：
证明：∵EF⊥AE，
∴∠ABC=∠BGA=∠AEF=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠CEF=90°，
∴∠BAE=∠CEF．
∵BG⊥AC，
∴∠BAG+∠ABG=90°，∠BAG+∠ECM=90°，
∴∠ABG=∠ECM．
∴△ABH∽△ECM．

点评：此题考查了矩形的性质，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质是解本题的关键．