Question

在△ABC中，AB=

3

，BC=1，∠ABC=30°，以AB为边作等边△ABD，连接CD，求线段CD的长．

Answer 1

考点：解直角三角形

专题：计算题

分析：分类讨论：当△ABC和△ABD在AB的同侧，由于△ABD为等边三角形，则∠ABD=60°，而∠ABC=30°，所以BE平分∠ABD，于是可判断点C为△ABC的外心，则CD=BC=1；
当△ABC和△ABD在AB的异侧，即△ABD′，在Rt△ABE中，∠ABE=30°，AB=

3

，根据含30度的直角三角形三边的关系得到AE=

1

2

AB=

3

2

，BE=

3

AE=

3

2

，则CE=BE-BC=

1

2

，于是有CD′=BE+CE=

1

2

+

3

2

=2．

解答：解：如图，
当△ABC和△ABD在AB的同侧，
∵△ABD为等边三角形，
∴∠ABD=60°，
∵∠ABC=30°，
∴BE平分∠ABD，
∴BE垂直平分AD，
∴点C为△ABC的外心，
∴CD=BC=1；
当△ABC和△ABD在AB的异侧，即△ABD′，
在Rt△ABE中，∠ABE=30°，AB=

3

，
∴AE=

1

2

AB=

3

2

，
∴BE=

3

AE=

3

2

，
∴CE=BE-BC=

1

2

∴CD′=BE+CE=

1

2

+

3

2

=2，
即线段CD的长为1或2．

点评：本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．