Question

如图，直线y=kx+b交坐标轴于A、B两点，交抛物线y=ax²于点C（4，3），且C是线段AB的中点，抛物线上另有位于第一象限内的一点P，过P的直线y=k′x+b′交坐标轴于D、E两点，且P恰好是线段DE的中点，若△AOB∽△DOE，则P点的坐标是

 

．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：首先求得抛物线的解析式，然后根据点C为新的AB的中点分别表示出点A和点B的坐标，然后利用两三角形相似设出点D的坐标并表示出点E的坐标，根据点P为线段DE的中点表示出点P的坐标，根据抛物线经过点P将P点的坐标代入求得设得的未知数，从而求得点P的坐标．

解答：解：∵抛物线y=ax²经过C（4，3），
∴抛物线的解析式为y=

3

16

x²，
∵C是线段AB的中点，
∴B（0，6），A（8，0），
∵△AOB∽△DOE，
∴

OD

OE

=

OB

OA

=

6

8

=

3

4

，
设点D的坐标为（0，a），
则点E的坐标为（

4

3

a，0），
∵点P为DE的中点，
∴点P的坐标为（

2

3

a，

a

2

），
∵点P在抛物线y=

3

16

x²上，
∴

a

2

=

3

16

×（

2

3

a）²，
解得：a=6，
∴点P的坐标为：（4，3）（不符合要求，舍去）．
设D在x轴上，E在y轴上，
∵△AOB∽△DOE，
∴

OD

OE

=

OB

OA

=

6

8

=

3

4

，
设点D的坐标为（a，0），
则点E的坐标为（0，

4

3

a），
∵点P为DE的中点，
∴点P的坐标为（

a

2

，

2

3

a），
∵点P在抛物线y=

3

16

x²上，
∴

2

3

a=

3

16

×（

1

2

a）²，
解得：a=

128

9

，
∴点P的坐标为：（

64

9

，

256

27

）．
故答案为：（

64

9

，

256

27

）．

点评：本题考查了二次函数的综合知识，解题的关键是根据点C的坐标表示出点A和点B的坐标并利用相似表示出点E和点D的坐标即可．