题目内容
已知直线y=kx-3与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点C，抛物线y=-
x2+mx+n经过点A和点C，动点P在x轴上以每秒1个长度单位的速度由抛物线与x轴的另一个交点B向点A运动，点Q由点C沿线段CA向点A运动且速度是点P运动速度的2倍．
（1）求此抛物线的解析式和直线的解析式；
（2）如果点P和点Q同时出发，运动时间为t（秒），试问当t为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形与△AOC相似；
（3）在直线CA上方的抛物线上是否存在一点D，使得△ACD的面积最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
| 3 |
| 4 |
（1）求此抛物线的解析式和直线的解析式；
（2）如果点P和点Q同时出发，运动时间为t（秒），试问当t为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形与△AOC相似；
（3）在直线CA上方的抛物线上是否存在一点D，使得△ACD的面积最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题
专题：
分析：（1）直接将（4，0）代入一次函数解析式求出k即可，进而得出C点坐标，再利用抛物线y=-
x2+mx+n经过点A和点C，求出即可；
（2）分别利用①若∠Q1P1A=90°，则P1Q1∥CO，②若∠Q2P2A=90°，求出t的值即可；
（3）过D作DF⊥x轴，垂足为E，交AC于点F，则S△ADF=DF•AE，S△CDF=DF•EO，由S△ACD=S△ADF+S△CDF求出关于x的函数关系式，进而得出答案．
| 3 |
| 4 |
（2）分别利用①若∠Q1P1A=90°，则P1Q1∥CO，②若∠Q2P2A=90°，求出t的值即可；
（3）过D作DF⊥x轴，垂足为E，交AC于点F，则S△ADF=DF•AE，S△CDF=DF•EO，由S△ACD=S△ADF+S△CDF求出关于x的函数关系式，进而得出答案．
解答：
解：（1）∵直线y=kx-3与x轴交于点A（4，0），
∴0=4k-3，
解得：k=
，
∴直线解析式为y=
x-3，
由直线y=
x-3与y轴交于点C，可知C（0，-3），
∴-
×42+4m-3=0，
解得m=
，
∴抛物线的解析式为y=-
x2+
x-3；
（2）对于抛物线y=-
x2+
x-3，
令y=0，则0=-
x2+
x-3，
解得：x1=1，x2=4，
∴B（1，0），
∴AB=3，AO=4，CO=3，AC=5，AP=3-t，AQ=5-2t，
①若∠Q1P1A=90°，则P1Q1∥CO，
∴△AP1Q1∽△AOC，
∴
=
，
∴
=
，
解得：t=
；
②若∠Q2P2A=90°，∵∠P2AQ2=∠OAC，
∴△AP2Q2∽△ACO，
∴
=
，
∴
=
，
解得：t=
；
综上：当t的值为
或
时，以P、Q、A为顶点的三角形与△AOC相似；
（3）存在，
如备用图：过D作DF⊥x轴，垂足为E，交AC于点F，
∴S△ADF=
DF•AE，S△CDF=
DF•EO，
∴S△ACD=S△ADF+S△CDF=
DF•（AE+EO）=
×4（DE+EF）=2×（-
x2+
x-3-
x-3）=-
x2+6x，
∴S△ACD=-
（x-2）2+6（0＜x＜4），
又0＜2＜4且二次项系数-
＜0，
∴当x=2时，S△ACD的面积最大，
而当X=2时，y=
，
∴满足条件的D点坐标为D（2，
）．
解：（1）∵直线y=kx-3与x轴交于点A（4，0），∴0=4k-3，
解得：k=
| 3 |
| 4 |
∴直线解析式为y=
| 3 |
| 4 |
由直线y=
| 3 |
| 4 |
∴-
| 3 |
| 4 |
解得m=
| 15 |
| 4 |
∴抛物线的解析式为y=-
| 3 |
| 4 |
| 15 |
| 4 |
（2）对于抛物线y=-
| 3 |
| 4 |
| 15 |
| 4 |
令y=0，则0=-
| 3 |
| 4 |
| 15 |
| 4 |
解得：x1=1，x2=4，
∴B（1，0），
∴AB=3，AO=4，CO=3，AC=5，AP=3-t，AQ=5-2t，
①若∠Q1P1A=90°，则P1Q1∥CO，
∴△AP1Q1∽△AOC，
∴
| AP1 |
| AO |
| AQ1 |
| AC |
∴
| 3-t |
| 4 |
| 5-2t |
| 5 |
解得：t=
| 5 |
| 3 |
②若∠Q2P2A=90°，∵∠P2AQ2=∠OAC，
∴△AP2Q2∽△ACO，
∴
| AP2 |
| AC |
| AQ2 |
| AO |
∴
| 3-t |
| 5 |
| 5-2t |
| 4 |
解得：t=
| 13 |
| 6 |
综上：当t的值为
| 5 |
| 3 |
| 13 |
| 6 |
（3）存在，
如备用图：过D作DF⊥x轴，垂足为E，交AC于点F，
∴S△ADF=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴S△ACD=S△ADF+S△CDF=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 15 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 2 |
∴S△ACD=-
| 3 |
| 2 |
又0＜2＜4且二次项系数-
| 3 |
| 2 |
∴当x=2时，S△ACD的面积最大，
而当X=2时，y=
| 3 |
| 2 |
∴满足条件的D点坐标为D（2，
| 3 |
| 2 |
点评：此题主要考查了二次函数综合应用以及三角形面积求法和相似三角形的判定与性质等知识，利用分类讨论得出是解题关键．
练习册系列答案
走进文言文系列答案
相关题目
等式
=
成立的条件是（ ）
| ||
|
|
| A、0≤x＜1 | B、x≥0 |
| C、x＜1 | D、x≥0或x＜1 |
如图，直线l交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，线段OA、OB的长分别是方程x2-14x+48=0（OA＞OB）的两根的
如图，等腰Rt△ABC的直角边长为2
已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥AC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接AE．
如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且∠AOB=60°，点P为线段BO上任意一点，以AP为边作等边三角形APF．连结BF，求证：BF=OP．