Question

20．如图，已知线段AB=10，点C是直线AB上方一个动点，∠ACB=m°，
（1）如图1，若∠ACB=30°，求动点C在运动过程中所经过的路径长．
（2）如图2，若∠ACB=45°，求△ABC的最大面积．

Answer 1

分析 （1）线段AB所对的角是定角，作出相应的外接圆，然后找到动点C运动的轨迹即可解答本题；
（2）根据题意可以画出相应的外接圆，然后根据垂径定理和勾股定理即可解答本题．

解答 解：（1）线段AB所对的角是定角，
∴动点C在△ABC的外接圆上运动，
作△ABC的外接圆，圆心为O，连接OA、OB，如右图1所示，
∵AB=10，∠ACB=30°，
∴∠AOB=2∠ACB=60°，
又∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴⊙O的半径是10，
∵动点C构成⊙O的一段优弧ACB所对的圆心角度数为：360°-60°=300°，
∴优弧ACB的长度是：$\frac{300×π×10}{180}=\frac{50π}{3}$，
即动点C在运动过程中所经过的路径长是$\frac{50π}{3}$；
（2）∵△ABC的底AB是定值，
∴要使面积最大，只要高取最大值，
即当动点C运动到优弧ACB的中点位置时，此时高最大，
作△ABC的外接圆，如右图2所示，作CD⊥AB于点D，
∵∠ACB=45°，
∴∠AOB=90°，
又∵AB=10，OA=OB，
∴OA=OB=5$\sqrt{2}$，OD=5，
∴△ABC的最大面积是：$\frac{1}{2}×（5+5\sqrt{2}）×10$=25+25$\sqrt{2}$．

点评 本题考查轨迹、三角形的外接圆、勾股定理、垂径定理，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，画出相应的图形．