Question

13．如图，在?ABCD中，E、F分别是边AB、CD的中点，BG∥AC交DA的延长线于点G．
（1）求证：△ADF≌△CBE；
（2）若四边形AGBC是矩形，判断四边形AECF是什么特殊的四边形？并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质得出AD=BC，AD∥BC，∠D=∠ABC，AB=CD，证出DF=BE，由SAS证明△ADF∽≌△CBE即可；
（2）由矩形的性质得出∠ACB=90°，由直角三角形斜边上的中线性质得出CE=$\frac{1}{2}$AB=AE，同理AF=FC，得出AF=FC=CE=EA，即可证出四边形AECF为菱形．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，∠D=∠ABC，AB=CD，
又∵E、F分别是边AB、CD的中点，
∴DF=BE，
在△ADF和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}&{\;}\\{∠D=∠B}&{\;}\\{DF=BE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADF∽≌△CBE（SAS）；
（2）解：四边形AECF为菱形；理由如下：
∵四边形AGBC是矩形，
∴∠ACB=90°，
又∵E为AB中点，
∴CE=$\frac{1}{2}$AB=AE，
同理AF=FC，
∴AF=FC=CE=EA，
∴四边形AECF为菱形．

点评 本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定，菱形的判定，直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握平行四边形的性质，由直角三角形斜边上的中线性质得出AF=FC=CE=EA是解决问题的关键．