Question

20．如图所示，A（-$\sqrt{3}$，0）、B（0，1）分别为x轴、y轴上的点，△ABC为等边三角形，点P（3，a）在第一象限内．
（1）求△ABC的面积；
（2）用含a的代数式表示△ABP的面积；
（3）若2S_△ABP=S_△ABC，求点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据A（-$\sqrt{3}$，0）、B（0，1）求OA、OB，利用勾股定理求AB，可得△ABC的面积，
（2）过P点作PD⊥x轴，垂足为D，利用S_△ABP=S_△AOB+S_梯形BODP-S_△ADP即可表示出△ABP的面积；
（3）根据2S_△ABP=S_△ABC列方程求得a，根据待定系数法求得直线PA的解析式，即可求得D的坐标．

解答 解：（1）由A（-$\sqrt{3}$，0）、B（0，1）得OA=$\sqrt{3}$，OB=1，
∴tan∠OAB=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠OAB=30°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠OAC=90°，
由勾股定理，得AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=2，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$；
（2）过P点作PD⊥x轴，垂足为D，
S_△ABP=S_△AOB+S_梯形BODP-S_△ADP
=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×1+$\frac{1}{2}$×（1+a）×3-$\frac{1}{2}$×（$\sqrt{3}$+3）×a，
=$\frac{\sqrt{3}+3-\sqrt{3}a}{2}$，
（3）由2S_△ABP=S_△ABC，$\sqrt{3}+3-\sqrt{3}$a=$\sqrt{3}$，
∴a=$\sqrt{3}$．
∴P（3，$\sqrt{3}$），
设直线AP的解析式为y=kx+b，
代入P（3，$\sqrt{3}$），A（-$\sqrt{3}$，0）得$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=\sqrt{3}}\\{-\sqrt{3}k+b=0}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{\sqrt{3}-1}{2}}\\{b=\frac{3-\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$
∴D（0，$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$）．

点评 本题考查了等边三角形的性质，坐标和图形的性质，不规则三角形面积的表示方法及待定系数法求解析式．