Question

1．已知：如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，点P为矩形外一点且满足AP=PC，AP⊥PC，PC交AD于点N，连接DP，过点P作PM⊥PD交AD于M．
（1）若AP=5，AB=$\frac{1}{3}$BC，求矩形ABCD的面积；
（2）若CD=PM，求证：AC=AP+PN．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理求出AC，设AB=x，BC=3x，在Rt△ABC中根据勾股定理求出AB、BC、即可求出答案；
（2）延长AP，CD交于Q，求出∠1=∠2，∠3=∠4，根据ASA证△APM≌△CPD，得出DP=PM=CD，求出∠Q=∠6，推出AC=AQ=AP+PQ，根据ASA证△APN≌△CPQ，推出PQ=PN，即可得出答案．

解答 （1）解：∵AP⊥CP且AP=CP，
∴△APC为等腰直角三角形，
∵AP=5，
∴AC=$\sqrt{2}$AP=5$\sqrt{2}$，
∵AB=$\frac{1}{3}$BC，
∴设AB=x，BC=3x，
∴在Rt△ABC中，
x²+（3x）²=（5$\sqrt{2}$）²，解得：x=$\sqrt{5}$，∴AB=$\sqrt{5}$，BC=3$\sqrt{5}$，
∴S_ABCD=AB•BC=$\sqrt{5}$×3$\sqrt{5}$=15；
（2）解：延长AP，CD交于Q，如图所示：
∵∠1+∠CND=∠2+∠PNA=90°，
且∠CND=∠ANP，
∴∠1=∠2，
又∠3+∠5=∠4+∠5=90°，
∴∠3=∠4，
在△APM和△CPD中，
$\left\{\begin{array}{l}{，1=∠2}&{\;}\\{AP=CP}&{\;}\\{∠3=∠4}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△APM≌△CPD（ASA），
∴DP=PM，
又∵CD=PM，
∴CD=PD，
∴∠1=∠4=∠3，
∵∠1+∠Q=∠3+∠6=90°
∴∠Q=∠6
∴DQ=DP=CD
∴D为CQ中点，
又∵AD⊥CQ
∴AC=AQ=AP+PQ，
在△APN和△CPQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}&{\;}\\{AP=CP}&{\;}\\{∠APC=∠CPQ}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△APN≌△CPQ（ASA），
∴PQ=PN
∴AC=AP+PQ=AP+PN．

点评 本题考查了矩形的性质、全等三角形的性质和判定、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质等知识；题目综合性比较强，有一定的难度．