Question

16．如图，在四边形ABCD中，AC⊥BC，且AC=BC，CD=4，若将线段DA绕点D按逆时针方形旋转90°得到DA′，连接BA′，则线段BA′的长度是4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 首先证明△ABC和△AA′D为等腰直角三角形，从而求得AB：AC=$\sqrt{2}$，$\frac{AA′}{AD}=\frac{AB}{AC}$，然后再证明∠A′AB=∠DAC，从而可证明△CAD∽△BA′A，最后利用相似三角形的性质可求得A′B的长度．

解答 解：如图所示：

∵AC⊥BC，且AC=BC，
∴△ABC为等腰直角三角形．
∴$\frac{AB}{AC}=\sqrt{2}$．
∵将线段DA绕点D按逆时针方形旋转90°得到DA′
∴△AA′D为等腰直角三角形．
∴△ABC∽△AA′D．
∴$\frac{AA′}{AD}=\frac{AB}{AC}$．
又∵∠CAB=∠A′AD，
∴∠A′AB=∠DAC．
∵$\frac{AA′}{AD}=\frac{AB}{AC}$且$\frac{AA′}{AD}=\frac{AB}{AC}$，
∴△CAD∽△BA′A．
∴$\frac{A′B}{CD}=\frac{AB}{AC}$，即：$\frac{A′B}{4}=\sqrt{2}$．
∴A′B=4$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查的是旋转的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的性质和判定，证得△CAD∽△BA′A是解题的关键．