Question

4．2015年秋，由于环境污染严重，我国多地出现持续雾霾，某工厂看到商机，加急研发一种专用口罩，工厂接到订单生产高、中、低档专用型口罩共2400个，厂方计划由20个工人一天内加工完成，并要求每人只加工一种类型口罩，根据下表提供的信息，解答下列问题：

口罩种类	高档	中档	低挡
每人可加工口罩的数量（个）	160	120	100
每个口罩获利（元）	a	b	5

（1）若工厂安排3人加工高档口罩、2人加工中档口罩和安排2人加工高档口罩、3人加工中档口罩均获利4800元，请求a、b的值；
（2）①设加工高档口罩的人数为x，加工中档口罩的人数为y，求y与x之间的函数关系式；
②如果加工每种类型口罩的人数均不少于3人，那么加工口罩的人数安排方案有几种？并写出每种安排方案；
③要使此次加工口罩的利润最大，应采用②中哪种方案？并求出最大利润．

Answer 1

分析 （1）由利润=生产个数×单个获利，可列出关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
（2）①根据生产口罩数=单人生产数×人数，可找出关于x、y的二元一次方程，将x当成自变量变形即可得出y与x之间的函数关系式；
②根据加工每种类型口罩的人数均不少于3人，列出关于x、y的二元一次不等式组，解不等式组即可得出x的取值范围，在此范围内取正整数即可得出结论；
③根据利润=生产个数×单个获利，找出三种方案下的获利情况，比较即可得出结论．

解答 解：（1）根据题意可知：$\left\{\begin{array}{l}{3×160a+2×120b=4800}\\{2×160a+3×120b=4800}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=6}\\{b=8}\end{array}\right.$．
（2）①设加工高档口罩的人数为x，加工中档口罩的人数为y，则加工低档口罩的人数为20-x-y，
根据已知得：160x+120y+100（20-x-y）=2400，
即y=-3x+20．
故y与x之间的函数关系式为y=-3x+20．
②由已知得：$\left\{\begin{array}{l}{x≥3}\\{y=-3x+20≥3}\\{20-x-y≥3}\end{array}\right.$
解得：3≤x≤$\frac{17}{3}$，
∴x=3，4，5．
∴安排方案有三种：高档3人，中档11人，低档6人；高档4人，中档8人，低档8人；高档5人，中档5人，低档10人．
③第一种方案利润：3×160×6+11×120×8+6×100×5=16440（元）；
第二种方案利润：4×160×6+8×120×8+8×100×5=15520（元）；
第三种方案利润：5×160×6+5×120×8+10×100×5=14600（元）．
∵16440＞15520＞14600，
∴第一种方案利润最大，最大为16440元．

点评 本题考查了二元一次方程组得应用、解二元一次不等式组以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）列出关于a、b的二元一次方程组；（2）①由总量找出x、y间的关系；②解二元一次不等式组；③求出三种方案的利润并比较大小．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（或方程组）是关键．