Question

9．已知：如图，P是正方形ABCD内一点，在正方形ABCD外有一点E，满足∠ABE=∠CBP，BE=BP．
（1）求证：△CPB≌△AEB；
（2）求证：PB⊥BE；
（3）图中是否存在旋转能够重合的三角形？若存在，请说出旋转过程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用SAS即可证得两个三角形全等；
（2）根据∠ABC=90°，即∠CBP+∠ABP=90°，利用等量代换即可证得∠PBE=90°，即可证得；
（3）根据旋转的定义即可解答．

解答 （1）证明：∵正方形ABCD中，AB=BC，
在△CPB和△AEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{∠ABE=∠CBP}\\{BE=BP}\end{array}\right.$，
∴△CPB≌△AEB；
（2）证明：∵正方形ABCD中，∠ABC=90°，即∠CBP+∠ABP=90°，
又∵∠CBP=∠ABE，
∴∠ABP+∠ABE=90°，即∠PBE=90°，
∴PB⊥BE；
（3）△AEB绕点B逆时针旋转90°，即可得到△CPB．

点评 本题考查了正方形的性质以及旋转的定义，正确证明△CPB≌△AEB是关键．