基本模型如图1.点A.F.B在同一直线上.若∠A=∠B=∠EFC=90°.易得△AFE∽△BCF．(1)模型拓展:如图2.点A.F.B在同一直线上.若∠A=∠B=∠EFC.求证:△AFE∽△BCF,(2)拓展应用:如图3.AB是半圆⊙O的直径.弦长AC=BC=4$\sqrt{2}$.E.F分别是AC.AB上的一点.若∠CFE=45°．若设AE=y.BF=x.求出y与x的函数关系式� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．基本模型
如图1，点A，F，B在同一直线上，若∠A=∠B=∠EFC=90°，易得△AFE∽△BCF．
（1）模型拓展：
如图2，点A，F，B在同一直线上，若∠A=∠B=∠EFC，求证：△AFE∽△BCF；
（2）拓展应用：如图3，AB是半圆⊙O的直径，弦长AC=BC=4$\sqrt{2}$，E，F分别是AC，AB上的一点，若∠CFE=45°．若设AE=y，BF=x，求出y与x的函数关系式及y的最大值；
（3）拓展提升：如图4，在平面直角坐标系柳中，抛物线y=-$\frac{1}{3}$（x+4）（x-6）与x轴交于点A，C，与y轴交于点B，抛物线的对称轴交线段BC于点E，探求线段AB上是否存在点F，使得∠EFO=∠BAO？若存在，求出BF的长；若不存在，请说明理由．

分析（1）利用已知得出∠E=∠CFB，进而利用相似三角形的判定方法得出即可；
（2）利用（1）得出△AFE∽△BCF，则$\frac{AE}{BF}$=$\frac{AF}{BC}$，进而求出y与x的函数关系式及y的最大值；
（3）首选求出A，C点坐标，再得到△CEH∽△CBO，求出BE的长，再利用△AFO∽△BEF，求出BF的长．

解答（1）证明：如图2，∵∠A=∠EFC，
∴∠E+∠EFA=∠EFA+∠CFB，
∴∠E=∠CFB，
∵∠A=∠B，
∴△AFE∽△BCF；

（2）解：如图3，∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=8，
∵AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
∴∠A=∠B=∠CFE=45°，
由（1）可得△AFE∽△BCF，
∴$\frac{AE}{BF}$=$\frac{AF}{BC}$，即$\frac{y}{x}$=$\frac{8-x}{4\sqrt{2}}$，
∴y=-$\frac{\sqrt{2}}{8}$x²+$\sqrt{2}$x（0≤x≤8），
当x=4时，y_最大=2$\sqrt{2}$；

（3）解：如图4，存在一点F，使得∠EFO=∠BAO，
理由：连接EF，FO，
抛物线y=-$\frac{1}{3}$（x+4）（x-6），
对称轴为x=$\frac{-4+6}{2}$=1，
把x=0代入y=-$\frac{1}{3}$（x+4）（x-6），得y=8，
∴B（0，8），即OB=8
把y=0代入y=-$\frac{1}{3}$（x+4）（x-6）得x₁=-4，x₂=6，
∴A（-4，0），C（6，0），
∴OC=6，OA=4，AC=10，
∴BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴AB=$\sqrt{O{B}^{2}+O{A}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∵EH∥BO，
∴△CEH∽△CBO，
∴$\frac{BE}{BC}$=$\frac{OH}{OC}$，即$\frac{BE}{10}$=$\frac{1}{6}$，
解得：BE=$\frac{5}{3}$，
∵BC=AC=10，
∴∠CAB=∠CBA
∴∠CAB=∠CBA=∠EFO，
由（1）可得△AFO∽△BEF，
∴$\frac{BF}{AO}$=$\frac{BE}{AF}$，
设BF=x，则$\frac{x}{4}$=$\frac{\frac{5}{3}}{4\sqrt{5}-x}$，
化简得：x²-4$\sqrt{5}$x+$\frac{20}{3}$=0，
解得：x₂=2$\sqrt{5}$-$\frac{2\sqrt{30}}{3}$，x₄=2$\sqrt{5}$+$\frac{2\sqrt{30}}{3}$，
∴当BF=2$\sqrt{5}$-$\frac{2\sqrt{30}}{3}$或2$\sqrt{5}$+$\frac{2\sqrt{30}}{3}$时，∠EFO=∠BAO．