Question

7．已知：如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是BE，DF的中点，连接EH和FG．
（1）求证：四边形EGFH是菱形；
（2）当AB边和BC边之间满足条件：BC=2AB时，四边形EGFH是正方形．

Answer 1

分析 （1）先连接EF，根据四边形ABFE、四边形CDEF都是矩形，得出GE=GF，EH=FH，再根据四边形DEBF是平行四边形，得出BE=DF，最后得到EG=GF=FH=EH，即可得出结论；
（2）根据有一个角是直角的菱形是正方形进行判断即可．

解答 解：（1）连接EF，
∵矩形ABCD中，AD=BC，E，F分别是AD，BC的中点，
∴AE=BF，
又∵AE∥BF，∠A=90°，
∴四边形ABFE是矩形，
∴∠BFE=90°，
∵G是BE的中点，
∴Rt△BEF中，GF=$\frac{1}{2}$BE=GE，①
同理可得，EH=$\frac{1}{2}$DF=FH，②
∵DE∥BF，DE=BF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴BE=DF，③
由①②③可得，EG=GF=FH=EH，
∴四边形EGFH是菱形；

（2）当AB边和BC边之间满足条件：BC=2AB时，四边形EGFH是正方形．
理由：当AB边和BC边之间满足BC=2AB时，四边形ABFE与四边形CDEF都是正方形，
故∠GEF=∠HEF=45°，
∴∠GEH=90°，
∴菱形EGFH是正方形．

点评 本题主要考查了菱形的判定，矩形的判定与性质，正方形的判定的综合运用，解决问题的关键是作辅助线，构造矩形．解题时注意：先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角，可得四边形为正方形．