Question

15．如图所示，E为正方形ABCD的对角线BD上一点，△CEF为等腰直角三角形，连BF．若BD=4$\sqrt{2}$，则△BCF的面积为9．

Answer 1

分析 如图，由此CF交AD于M，连接EM，作MN⊥BC于N，FH⊥BC于H．先证明△EMC是等腰直角三角形，求出FH即可解决问题．

解答 解：如图，由此CF交AD于M，连接EM，作MN⊥BC于N，FH⊥BC于H．

∵四边形ABCD是正方形，△EFC是等腰直角三角形，
∴∠MDE=∠ECM=45°，
∴D、C、E、M四点共圆，
∴∠EMC=∠EDC=45°，
∴∠EMC=∠ECM=45°，
∴EM=EC，∵EF⊥CM，
∴FM=FC，
∵S四边形ABNM是矩形，
∴MN=AB，
∵FH∥MN，FM=FC，
∴NH=HC，
∴FH=$\frac{1}{2}$MN，
∵BD=6$\sqrt{2}$，
∴MN=AB=BC=6，
∴FH=3，
∴S_△BCF=$\frac{1}{2}$BC•FH=9．
故答案为9．

点评 本题考查等腰直角三角形的性质，正方形的性质、三角形中位线定理、勾股定理、四点共圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，发现FH=$\frac{1}{2}$MN是难点，属于中考填空题中的压轴题．