Question

19．对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P′的坐标为（$a+\frac{b}{k}$，ka+b）（其中k为常数，且k≠0），则称点P′为点P的“k属派生点”．
（1）①点P（-2，1）的“2属派生点”P′的坐标为（-$\frac{3}{2}$，-3）；
②若点P的“k属派生点”P′的坐标为（4，2），请写出一个符合条件的点P的坐标（2，1）；
（2）若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为点P′，且△OPP′为等腰直角三角形，则k的值为±1．

Answer 1

分析 （1）①只需把a=-2，b=1，k=2代入（a+$\frac{b}{k}$，ka+b）即可求出P′的坐标．
②由P′（4，2）可求出k=$\frac{1}{2}$，从而有a+2b=4．任取一个a就可求出对应的b，从而得到符合条件的点P的一个坐标．
（2）设点P坐标为（a，0），从而有P′（a，ka），显然PP′⊥OP，由条件可得OP=PP′，从而求出k．

解答 解：（1）①点P（-2，1）的“2属派生点”P′的坐标为（-2+$\frac{1}{2}$，-2×2+1），即（-$\frac{3}{2}$，-3），
故答案为：（-$\frac{3}{2}$，-3）；
②由题意，得：$\left\{\begin{array}{l}{a+\frac{b}{k}=4}\\{ka+b=2}\end{array}\right.$，
解得：k=$\frac{1}{2}$，
∴a+2b=4，
当b=1时，a=2，此时点P的坐标为（2，1），
故答案为：（2，1）；

（2）∵点P在x轴的正半轴上，
∴b=0，a＞0．
∴点P的坐标为（a，0），点P′的坐标为（a，ka）．
∴PP′⊥OP．
∵△OPP′为等腰直角三角形，
∴OP=PP′．
∴a=±ka．
∵a＞0，
∴k=±1．
故答案为：±1．

点评 此题考查了坐标与图形的性质、等腰直角三角形，弄清题中的新定义及等腰直角三角形的定义是解本题的关键．