Question

4．把抛物线y=a（x+h）²+k先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线y=$\frac{1}{2}{（x+1）^2}$-1．
（1）试确定a、h、k的值；
（2）若以x轴为对称轴，将原抛物线反向，求所得抛物线的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律，得出a=$\frac{1}{2}$，-h=-1+2，k=-1-4．从而求得a、h、k的值；
（2）先根据关于x轴对称的点的坐标特征得到顶点（-1，-5）关于x轴对称的点的坐标为（-1，5），再根据关于x轴对称的抛物线开口方向相反得到对称轴的二次函数的二次项系数为-$\frac{1}{2}$，然后根据顶点式写出原抛物线关于x轴对称的抛物线解析式．．

解答 解：（1）∵抛物线y=a（x+h）²+k先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线y=$\frac{1}{2}{（x+1）^2}$-1．
∴a=$\frac{1}{2}$，-h=-1+2，k=-1-4．
∴a=$\frac{1}{2}$，h=-1，k=-5．
（2）∵抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$（x-1）²-5，
∴顶点坐标为（1，-5），
∵点（1，-5）关于x轴对称的点的坐标为（-1，5），且对称后的抛物线的开口方向与原抛物线相反，
所以关于x轴对称的抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$（x-1）²+5．

点评 本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．