如图.已知直线l:y=-$\frac{3}{4}$x-3与x轴交于点A.与y轴交于点B.抛物线y=ax2+bx+c经过A.B两点.且对称轴为直线x=-$\frac{3}{2}$．(1)求抛物线的解析式,(2)设P是抛物线上的一个动点.过点P作y轴的平行线.交直线1于点Q．①若以AB为直径的圆恰好与直线PQ相切.求此时点Q的坐标,②若点P在y轴右侧的抛物线上.在点P的运动过程中.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

13．

如图，已知直线l：y=-$\frac{3}{4}$x-3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=ax²+bx+c经过A、B两点，且对称轴为直线x=-$\frac{3}{2}$．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设P是抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线，交直线1于点Q．
①若以AB为直径的圆恰好与直线PQ相切，求此时点Q的坐标；
②若点P在y轴右侧的抛物线上，在点P的运动过程中，△APQ能否为等腰三角形？若能，求出Q点坐标；若不能，请说明理由．

分析（1）求出A、B两点坐标，构建方程组即可解决问题．
（2）①设Q的坐标为：（x，-$\frac{3}{4}$x-3），由A（-4，0），B（0，-3），推出AB=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，AB的中点坐标为（-2，-$\frac{3}{2}$），因为以AB为直径的圆恰好与直线PQ相切，可得|x-（-2）|=$\frac{5}{2}$，解方程即可解决问题．
②分三种情形，分别构建方程即可解决问题．

解答解：（1）∵直线l：y=-$\frac{3}{4}$x-3与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（-4，0），B（0，-3），
∵抛物线y=ax²+bx+c经过A、B两点，且对称轴为直线x=-$\frac{3}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{16a-4b+c=0}\\{c=-3}\\{-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{4}}\\{b=\frac{9}{4}}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x-3；

（2）①设Q的坐标为：（x，-$\frac{3}{4}$x-3），
∵A（-4，0），B（0，-3），
∴AB=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，AB的中点坐标为（-2，-$\frac{3}{2}$），
∵以AB为直径的圆恰好与直线PQ相切，
∴|x-（-2）|=$\frac{5}{2}$，
解得：x=$\frac{1}{2}$或-$\frac{9}{2}$，
∴此时点Q的坐标为：（$\frac{1}{2}$，-$\frac{27}{8}$）或（-$\frac{9}{2}$，$\frac{3}{8}$）；

②设P的坐标为（x，$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x-3），则Q（x，-$\frac{3}{4}x-3$）
如图1中，当PA=PQ时，作PM⊥AQ于M，设PQ交x轴于N．易知PQ=$\frac{3}{4}$x²+3x，

∵OB∥NQ，
∴OA：AN=AB：AQ，
∴4：（4+x）=5：AQ，
∴AQ=$\frac{5}{4}$（4+x），AM=MQ=$\frac{5}{8}$（4+x），
∵cos∠AQN=cos∠PQM=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{\frac{5}{8}（4+x）}{\frac{3}{4}{x}^{2}+3x}=\frac{3}{5}$，
解得x=$\frac{25}{18}$或-4（舍弃），此时Q（$\frac{25}{18}$，-$\frac{97}{24}$）．
如图2中，当QA=QP时，则有$\frac{5}{4}$（4+x）=$\frac{3}{4}$x²+3x，解得x=$\frac{5}{3}$或-4（舍弃），此时Q（$\frac{5}{3}$，-$\frac{17}{4}$）．

如图3中，当AP=AQ时，设AP交y轴于N．

∵直线AP与直线AQ关于x轴对称，
∴N（0，3），
∴直线AN的解析式为y=$\frac{3}{4}$x+3，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x+3}\\{y=\frac{3}{4}{x}^{2}+\frac{9}{4}x-3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，
∵A（-4，0），
∴P（2，$\frac{9}{2}$），
∴Q（2，-$\frac{9}{2}$），
综上所述，满足条件的点Q的坐标为（$\frac{25}{18}$，-$\frac{97}{24}$）或（$\frac{5}{3}$，-$\frac{17}{4}$）或（2，-$\frac{9}{2}$）．