Question

9．已知在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A、B的坐标分别为（20，0），（20，10）．P、Q分别为线段OB、OA上的动点，当PQ+PA最小时，点P的坐标为（12，6）．

Answer 1

分析 如图，作A关于OB的对称点A′，AA′交OB于H，作A′Q′⊥OA于Q′，A′Q′交OB于P′，此时P′A+P′Q′的值最小，求出P′的坐标即可解决问题．

解答 解：如图，作A关于OB的对称点A′，AA′交OB于H，作A′Q′⊥OA于Q′，A′Q′交OB于P′，此时P′A+P′Q′的值最小．

在Rt△OAB中，∵OA=20，AB=10，
∴OB=$\sqrt{A{B}^{2}+O{A}^{2}}$=10$\sqrt{5}$，
∵$\frac{1}{2}$•AB•OA=$\frac{1}{2}$•OB•AH，
∴AH=4$\sqrt{5}$，
∴AA′=2AH=8$\sqrt{5}$，
由△AA′Q′∽△BOA可得，$\frac{AQ′}{AB}$=$\frac{AA′}{OB}$，
∴$\frac{AQ′}{10}$=$\frac{8\sqrt{5}}{10\sqrt{5}}$，
∴AQ′=8，
∴OQ′=OA-AQ′=12，
∵tan∠BOA=$\frac{P′Q′}{OQ′}$=$\frac{AB}{OA}$，
∴$\frac{P′Q′}{10}$=$\frac{12}{20}$，
∴P′Q′=6，
∴P′（12，6）．
∴当PQ+PA最小时，点P的坐标为（12，6）

点评 本题考查轴对称-最短问题、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用的长解决最值问题，属于中考常考题型．