Question

18．如图，在?ABCD中，∠ABC的平分线与AD的延长线交于点E，与CD交于点F，且点F是CD的中点，连结AC，CE．已知FC=3，FB=2$\sqrt{2}$，则△ACE的面积为4$\sqrt{14}$．

Answer 1

分析 根据平行四边形的性质得到AB=CD，AD∥BC，AD=BC，根据平行线的性质得到∠AEB=∠ABE，根据角平分线的定义得到∠ABE=∠CBE，等量代换得到∠AEB=∠ABE，根据全等三角形的性质得到EF=BF=2$\sqrt{2}$，连接AF，根据勾股定理得到AF=$\sqrt{A{B}^{2}-B{F}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，于是得到结论．

解答 解：在?ABCD中，
∵AB=CD，AD∥BC，AD=BC，
∴∠AEB=∠ABE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠AEB=∠ABE，
∴AB=AE，
∵点F是CD的中点，
∴DF=CF=3，
∴AB=CD=AE=6，
在△DEF与△CBF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DEF=∠CBF}\\{∠DFE=∠CFB}\\{DF=CF}\end{array}\right.$，
∴△DEF≌△CBF，
∴EF=BF=2$\sqrt{2}$，
连接AF，
则AF⊥BE，
∴AF=$\sqrt{A{B}^{2}-B{F}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∴S_△ACE=S_△ABE=$\frac{1}{2}$BE•AF=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{2}$×2$\sqrt{7}$=4$\sqrt{14}$．
故答案为：4$\sqrt{14}$．

点评 本题考查了平行四边形性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．