Question

15．如图，△ABC的周长为28，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为（　　）

• A． 8
• B． 6
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 首先判断△BAE、△CAD是等腰三角形，从而得出BA=BE，CA=CD，由△ABC的周长为28，及BC=10，可得DE=8，利用中位线定理可求出PQ．

解答 解：∵△ABC的周长是26，BC=10，
∴AB+AC=28-10=18，
∵∠ABC的平分线垂直于AE，
∴在△ABQ和△EBQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABQ=∠EBQ}\\{BQ=BQ}\\{∠AQB=∠EQB}\end{array}\right.$，
∴△ABQ≌△EBQ，
∴AQ=EQ，AB=BE，
同理，AP=DP，AC=CD，
∴DE=BE+CD-BC=AB+AC-BC=18-10=8，
∵AQ=DP，AP=DP，
∴PQ是△ADE的中位线，
∴PQ=$\frac{1}{2}$DE=4．
故选D．

点评 本题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是判断出△BAE、△CAD是等腰三角形，利用等腰三角形的性质确定PQ是△ADE的中位线．