Question

2．同一平面内的点P和图形G，给出如下定义：在图形G上若存在两点M，N，使△PMN为等边三角形，则称点P为图形G的特征点，图形G为点P的特征线，△PMN为图形G关于点P的特征三角形．
（1）如图1，⊙O的半径为1，OA=$\sqrt{3}$，OB=3．在A，B两点中，⊙O的特征点是A．
若点C是⊙O的特征点，求OC长度的取值范围．
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=m．线段AB是点C的特征线，线段AB关于点C的特征三角形的面积为$\frac{\sqrt{3}}{9}$，求m的值．
（3）如图3，直角坐标系中的点A（-2，0），B（0，2$\sqrt{3}$），点C，D分别是射线AB和x轴上的动点，以CD为边作正方形CDEF，若△ACD是正方形CDEF关于点A的特征三角形．当正方形CDEF的一个顶点落在y轴上时，求此时正方形的边长．

Answer 1

分析 （1）①根据特征点的定义即可判断；②如图2中，当CE、CF是⊙O切线，△CEF是等边三角形时，OC的值最大，最大值为2．由此即可解决问题；
（2）如图3中，作CD⊥AB于点D．由线段AB是点C的特征线，推出CD为线段AB关于点C的特征三角形的高．由线段AB关于点C的特征三角形的面积为$\frac{\sqrt{3}}{9}$，推出CD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，由此即可解决问题；
（3）分四种情形画出图形一一解决即可；

解答 解：（1）如图1中，观察图象可知，⊙O的特征点是点A．

故答案为A；                                
如图2中，当CE、CF是⊙O切线，△CEF是等边三角形时，OC的值最大，最大值为2．

观察图象可知，0≤OC≤2．

（2）如图3中，作CD⊥AB于点D．

∵线段AB是点C的特征线，
∴CD为线段AB关于点C的特征三角形的高．
∵线段AB关于点C的特征三角形的面积为$\frac{\sqrt{3}}{9}$，
∴CD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵AC=1，
∴AD=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴cosA=$\frac{AD}{AC}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∵∠ACB=∠CDA=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴BC=$\frac{CD}{cos∠BCD}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{6}}{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴m=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（3）①如图4中，点E落在y轴上时，设CD=x．

则有AD+OD=OA，
x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$x=2，
∴x=8-4$\sqrt{3}$
∴CD=8-4$\sqrt{3}$；  
②如图5中，点F落在y轴上时，设CD=x．

由AC+BC=AB，可得x+2•$\frac{\sqrt{3}}{2}$x=4，
∴x=2$\sqrt{3}$-2，
∴CD=2$\sqrt{3}$-2； 
③如图6中，点D落在y轴上时，此时点D与点O重合，CD=2；

④如图7中，点C落在y轴上时，此时点C与点B重合，CD=4．

综上所述，满足条件的CD的值为8-4$\sqrt{3}$或2$\sqrt{3}$-2或2或4．

点评 本题考查圆综合题、切线的性质、等边三角形的性质．正方形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是理解题意，学会用方程的思想思考问题，学会分类讨论，注意不能漏解，属于中考压轴题．