Question

7．如图，AM∥BN，点E是AB的中点，把一个直角的顶点放在点E，直角的两条边分别与AM、BN相交于D、C，联结CD，求证：CD=AD+BC．

Answer 1

分析 延长DE交CB的延长线于F，根据线段中点的定义可得AE=BE，根据两直线平行，内错角相等可得∠A=∠EBF，∠ADE=∠F，然后利用“角角边”证明△ADE和△BFE全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=BF，DE=EF，再判断出CE垂直平分DF，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的离相等整理即可得证．

解答 证明：如图，延长DE交CB的延长线于F，
∵点EAB的中点，
∴AE=BE，
∵AM∥BN，
∴∠A=∠EBF，∠ADE=∠F，
在△ADE和△BFE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠EBF}\\{∠ADE=∠F}\\{AE=BE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BFE（AAS），
∴AD=BF，DE=EF，
∵∠CED是直角，
∴CE⊥DF，
∴CE垂直平分DF，
∴CD=CF，
∵CF=BF+BC=AD+BC，
∴CD=AD+BC．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，难点在于作辅助线构造出全等三角形并构造出与AD+BC等长的线段CF．