Question

18．设G是△ABC的重心，M是边AC的中点，且AC=2$\sqrt{3}$GM，D是GA延长线上任一点，连接DM，并在DM上取一点E，使∠AED=∠CAG，作CF∥AB与直线BE交于点F，CD与MF交于点H，求证：
（1）A、B、M、E四点共圆；
（2）∠DHF=∠BAC．

Answer 1

分析 （1）要证A、B、M、E四点共圆，只需证∠AED=∠ABM，由于∠AED=∠CAG，只需证∠CAG=∠ABM，只需证△MAG∽△MBA，只需证到$\frac{MG}{MA}=\frac{MA}{MB}$即可；
（2）连接EC，由A、B、M、E四点共圆及AB∥CF可得∠AME=∠ABE=∠CFE，由此可得M、E、F、C四点共圆，根据圆周角定理可得∠MEC=∠MFC．由AB∥CF可得∠BAC=∠MCF，要证∠DHF=∠BAC，只需证∠DHF=∠MCF，只需证∠MFC=∠MCD，只需证∠MCD=∠MEC，只需证△MEC∽△MCD，只需证$\frac{MC}{MD}$=$\frac{ME}{MC}$，由于MC=MA，只需证$\frac{MA}{MD}=\frac{ME}{MA}$，只需证△MAE∽△MDA，只需证∠DAM=∠AEM，由于∠AED+∠AEM=180°，∠CAG+∠DAM=180°，只需证到∠AED=∠CAG（已知）即可．

解答 证明：（1）∵M是边AC的中点，AC=2$\sqrt{3}$GM，
∴AM=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{3}$GM．
∵G是△ABC的重心，∴MB=3GM，
∴MG•MB=3MG²=AM²，
∴$\frac{MG}{MA}=\frac{MA}{MB}$．
又∵∠AMG=∠BMA，
∴△MAG∽△MBA，
∴∠MAG=∠ABM．
∵∠AED=∠MAG，
∴∠AED=∠ABM，
∴A、B、M、E四点共圆；

（2）连接EC，如图．
∵A、B、M、E四点共圆，∴∠ABE=∠AME．
∵AB∥CF，∴∠ABE=∠CFE，
∴∠AME=∠CFE，
∴M、E、F、C四点共圆，
∴∠MEC=∠MFC．
∵∠AED=∠CAG，∠AED+∠AEM=180°，∠CAG+∠DAM=180°，
∴∠DAM=∠AEM．
又∵∠AME=∠DMA，
∴△MAE∽△MDA，
∴$\frac{MA}{MD}=\frac{ME}{MA}$．
∵MA=MC，∴$\frac{MC}{MD}$=$\frac{ME}{MC}$．
又∵∠EMC=∠CMD，
∴△MEC∽△MCD，
∴∠MEC=∠MCD，
∴∠MFC=∠MEC=∠MCD，
∴∠DHF=∠HCF+∠MFC=∠HCF+∠MCD=∠MCF．
∵AB∥CF，∴∠BAC=∠MCF，
∴∠DHF=∠BAC．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、四点共圆的判定、圆周角定理、平行线的性质、三角形的重心等知识，有一定的难度，证到△MAG∽△MBA是解决第1小题的关键，证到△MEC∽△MCD及M、E、F、C四点共圆是解决第2小题的关键．