题目内容
9．操作发现如图1，在菱形ABCD中，∠B=60°，已知E，F分别是边BA和边AD上的动点（点E不与点B重合，点F不与点D重合），BE=AF，连接CE，CF，EF，由此可以发现△CEF是等边三角形．
类比猜想
在上述条件不变的情况下，若动点E，F分别运动至边BA和边AD的延长线上，如图2所示，试猜想△CEF是否仍然为等边三角形，并说明理由．
深入研究
（1）在图1的基础上，过点E作CF的平行线，并截取EG=CF，连接CG，BG，如图3所示，试探究AF，BG与AB之间的数量关系，并证明你探究的结论；
（2）在图2的基础上，进行（1）中的操作，如图4所示，（1）中的结论是否成立？若不成立，请直接写出新的结论．
分析 类比猜想：连结AC．先由四边形ABCD是菱形，∠B=60°，得出∠EAF=60°，AD=CD=AB，∠ADC=∠B=60°，那么△ACD是等边三角形，于是AC=DC，∠ACD=∠CAD=60°，再根据SAS证明△ACE≌△DCF，得到CE=CF，∠ACE=∠DCF，然后求出∠ECF=∠ACD=60°，于是得出△CEF是等边三角形；
深入研究：（1）连结AC，利用SAS证明△BCG≌△ACE，得出BG=AE，又AF=BE，于是得出AF+BG=AB；
（2）同（1），连结AC，利用SAS证明△BCG≌△ACE，得出BG=AE，又AF=BE，于是得出（1）中的结论不成立，新的结论为AF-BG=AB．
解答 
解：类比猜想：△CEF仍然为等边三角形，理由如下：
连结AC．
∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，
∴∠EAF=60°，AD=CD=AB，∠ADC=∠B=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AC=DC，∠ACD=∠CAD=60°，
∴∠CAE=∠CDF=120°，
∵BE=AF，
∴BE-AB=AF-AD，即AE=DF，
∴△ACE≌△DCF，
∴CE=CF，∠ACE=∠DCF，
∴∠DCF+∠DCE=∠ACE+∠DCE，即∠ECF=∠ACD=60°，
∴△CEF是等边三角形；
深入研究：
（1）AF+BG=AB，理由如下：
连结AC，易得∠BCA=60°．
∵EG∥CF，EG=CF，
∴四边形CFEG是平行四边形，
∴EF=GC，
∵△CEF是等边三角形，
∴EF=CE=CF，
∴CE=CG=EG，
∴△CEG是等边三角形，
∴∠GCE=60°，
∴∠GCE-∠BCE=∠BCA-∠BCE，即∠GCB=∠ECA，
∴△BCG≌△ACE（SAS），
∴BG=AE，
又AF=BE，
∴AF+BG=BE+AE，即AF+BG=AB；
（2）（1）中的结论不成立，新的结论为AF-BG=AB．
点评 本题是四边形综合题，其中涉及到菱形的性质，等边三角形、全等三角形、平行四边形的判定与性质，综合性较强，难度适中．利用数形结合及类比思想是解题的关键．
如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O．若AD=6，AB=8，E、F分别是OD、CD的中点，则△DEF的面积为3．
设G是△ABC的重心，M是边AC的中点，且AC=2$\sqrt{3}$GM，D是GA延长线上任一点，连接DM，并在DM上取一点E，使∠AED=∠CAG，作CF∥AB与直线BE交于点F，CD与MF交于点H，求证：