Question

17．在正方形ABCD中，点E为射线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）如图1，当点E在线段AC上时，求证：CG=AC-CE；
（2）如图2，当点E在线段AC的延长线上时，正方形ABCD的边长为3，CE=$\sqrt{2}$，求GE的长．

Answer 1

分析 （1）作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，证明Rt△EQF≌Rt△EPD和△ADE≌△CDG，进而得到结论；
（2）根据（1）方法得到CG=AC+CE，求出CG的长度，最后利用勾股定理求出GE的长．

解答 （1）证明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q．
∵∠DCA=∠BCA，
∴EQ=EP，
∵∠QEF+∠FEC=45°，∠PED+∠FEC=45°，
∴∠QEF=∠PED，
∴Rt△EQF≌Rt△EPD，
∴EF=ED，
∴矩形DEFG是正方形，
∴DE=DG，∠EDG=90°，
∵∠ADE+∠EDC=90°，∠CDG+∠EDC=90°，
∴∠ADE=∠CDG，
∵AD=DC，
∴△ADE≌△CDG，
∴AE=CG．
∴CG=AC-CE；
（2）仿照（1）可证得CG=AC+CE，
∵AC=$\sqrt{A{D}^{2}+D{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∴CG=AC+CE=3$\sqrt{2}$+$\sqrt{2}$=4$\sqrt{2}$，
∵△ADE≌△CDG，
∴∠DCG=∠DAE=45°，
∴∠ACG=∠ACD+∠DCG=90°，
在Rt△GCE中，
GE=$\sqrt{C{G}^{2}+E{C}^{2}}$=$\sqrt{（4\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{34}$．

点评 本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的知识，解题的关键是作辅助线，证明三角形全等，此题难度不大．