题目内容
5．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点P为底边BC上一动点，连接AP，在AP左侧作等腰△APD，使PA=PD，∠APD=∠BAC，连接BD．（1）如图①，若∠APD=∠BAC=60°，求证：△ABD≌△ACP；
（2）如图②，若∠APD=∠BAC=90°，AB=2，当点P由点C运动到点B时：
①∠PBD的大小是否为定值？若为定值，求出其大小，若发生变化，请说明理由；
②求出点D运动的路径长度
分析 （1）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得△ABC和△APD是等边三角形，就可以证明△ABD≌△ACP；
（2）①∠PBD的大小会发生变化，分三种情况讨论：i）在BC的中点右侧时，∠PBD=45°，证明△AFP≌△PGD，再证明△BDG是等腰直角三角形即可得出结论；
ii）当点P与中点F重合时，∠PBD=0°；
iii）当点P在BC中点左侧运动时，∠PBD=135°，同理可证得∠DBG=45°，所以∠PBD=135°；
②由题意画出点D的运动路径，即ED的长，根据等腰直角三角形斜边中线等于斜边一半得：ED=2AB=4．
解答 
解：（1）如图①，∵∠BAC=60°，AB=AC，
∴△ABC等边三角形，
同理得△APD也是等边三角形，
∴AD=AP，∠DAP=60°，
∴∠DAB+∠BAP=∠CAP+∠BAP，
∴∠DAB=∠CAP，
∴△ABD≌△ACP；
（2）①∠PBD的大小会发生变化，过A作AF⊥BC，交BC于F，则F是BC的中点，
i）当点P在FC上运动时，∠PBD=45°，如图②，理由是：
过点D作DG⊥BC于G，
∵∠APF+∠DPG=90°，∠GDP+∠DPG=90°，
∴∠APF=∠GDP，
∵∠AFP=∠DGP=90°，AP=PD，
∴△AFP≌△PGD，
∴AF=PG，PF=GD，
∵AF=BF，
∴BF=PG，
∴BF-FG=PG-FG，
即BG=PF，
∴BG=GD，
∴△BGD是等腰直角三角形，
∴∠PBD=45°，
ii）当点P与中点F重合时，∠PBD=0°，
iii）当点P在BF上运动时，∠PBD=135°，如图③，
过点D作DG⊥BC，交CB的延长线于点G，
同理得△APF≌△PDG，
∴AF=PG，PF=DG，
∴PG=BF，
∴BG=PF=DG，
∴△BDG是等腰直角三角形，
∴∠GBD=45°，
∴∠PBD=135°；
②如图④，点D运动的路径是从点D到点E，
当点P在点C时，设AD交BC于F，
∵△APD与△ABC都是等腰直角三角形，
∴AD⊥BC，
当点P运动到点B时，由∠APD=90°得∠ABE=90°，
∵∠ABC=45°，∠CBD=45°，
∴∠EBD=180°，
∴E、B、D在同一直线上，
由题意得：△ADE是等腰直角三角形，
∵AB=2，
∴ED=2AB=4，
∴点D运动的路径长度为4．
点评 本题是三角形的综合题，综合考查了全等三角形、等腰直角三角形的性质和判定，同时以动点P为背景，考查了运动后形成的角的大小和运动路径，综合性较强；本题的关键是恰当作出辅助线，构建三角形全等，由全等对应边相等，并结合等腰直角三角形，证明出一个新的等腰直角三角形，最后得出角的度数．
全能测控期末小状元系列答案| A． | 抛掷一枚质量均匀的硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件 | |
| B． | 把4个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉至少有两个球是必然事件 | |
| C． | 任意打开八年级下册数学教科书，正好是97页是确定事件 | |
| D． | 从一副扑克牌中任意抽取1张，摸到的牌是“A”的可能性比摸到的牌是“红桃”可能性小 |
