Question

11．如图，已知抛物线P：y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在x轴的正半轴上），与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：

x	…	-3	-2	1	2	…
y	…	$-\frac{5}{2}$	-4	$-\frac{5}{2}$	0	…

（1）求抛物线表达式及A、B、C三点的坐标；
（2）若点D的坐标为（m，0），矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并求出面积的最大值及m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据图表中的每对x、y的值，利用待定系数法确定二次函数的解析式即可；
（2）易证△ADG∽△AOC，AD=2-m，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以用m表示出DG的长，再根据△BEF∽△BOC，就可以表示出BE，就可以得到OE，因而ED就可以表示出来．因而S与m的函数关系就可以得到．

解答 解：（1）设y=ax²+bx+c（a≠0），
任取x，y的三组值代入得：$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+c=-\frac{5}{2}}\\{4a-2b+c=-4}\\{a+b+c=-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=1}\\{c=-4}\end{array}\right.$．
故解析式为y=$\frac{1}{2}$x²+x-4

（2）由题意，$\frac{AD}{AO}=\frac{DG}{OC}$，而AO=2，OC=4，AD=2-m，故DG=4-2m，
又∵$\frac{BE}{BO}$=$\frac{EF}{OC}$，EF=DG，得BE=4-2m，
∴DE=3m，
∴S_矩形DEFG=DG•DE=（4-2m）3m=12m-6m²（0＜m＜2）．

点评 本题主要考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求函数的解析式，利用函数的解析式组成的方程组求函数交点坐标的方法，相似三角形的性质，综合性较强，难度较大．