Question

1．某班课题学习小组对无盖的纸杯进行制作与探究，所要制作的纸杯如图1所示，规格要求是：杯口直径AB=6cm，杯底直径CD=4cm，杯壁母线AC=BD=6cm．请你和他们一起解决下列问题：
（1）小顾同学先画出了纸杯的侧面展开示意图（如图2，忽略拼接部分），得到图形是圆环的一部分．
①图2中弧EF的长为6πcm，弧MN的长为4πcm；
②要想准确画出纸杯侧面的设计图，需要确定弧MN所在圆的圆心O，如图3所示．小顾同学发现有$\frac{\widehat{EF}的长}{\widehat{MN}的长}$=$\frac{OF}{ON}$，请你帮她证明这一结论．
③根据②中的结论，求弧MN所在圆的半径r及它所对的圆心角的度数n．
（2）小顾同学计划利用正方形纸片一张，按如图甲所示的方式剪出这个纸杯的侧面，求正方形纸片的边长．

Answer 1

分析 （1）①直接根据圆的周长公式计算；
②设它所对的圆心角的度数为n，根据弧长公式得到$\widehat{EF}$的长=$\frac{n•π•OF}{180}$，$\widehat{MN}$的长=$\frac{n•π•ON}{180}$，然后把它们相比即可得到$\frac{\widehat{EF}的长}{\widehat{MN}的长}$=$\frac{OF}{ON}$；
③由（2）中的结论得到得$\frac{OF}{ON}$=$\frac{6π}{4π}$=$\frac{3}{2}$，加上OF=ON+6，可求得ON=12，再利用弧长公式得到$\frac{n•π•12}{180}$=4π，于是可求出n=60°；
（2）如图4，连结EF，OB，它们相交于点P，先证明△OEF为等边三角形得到EF=OF=18，再证明Rt△AOE≌Rt△COF得到AE=CF，则BE=BF，于是可判断OB垂直平分EF，所以PF=$\frac{1}{2}$EF=9，由勾股定理计算出OP=$\sqrt{1{8}^{2}-{9}^{2}}$=9$\sqrt{3}$，由△PFB为等腰直角三角形和得到PB=PF=9，则OB=9$\sqrt{3}$+9，然后根据正方形的性质得OC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OB=$\frac{9\sqrt{6}+9\sqrt{2}}{2}$．

解答 （1）解：①如图2，弧EF的长为6πcm，弧MN的长为4πcm；
故答案为6π，4π；
②证明：如图3，设它所对的圆心角的度数为n，
$\widehat{EF}$的长=$\frac{n•π•OF}{180}$，$\widehat{MN}$的长=$\frac{n•π•ON}{180}$，
所以$\frac{\widehat{EF}的长}{\widehat{MN}的长}$=$\frac{OF}{ON}$；
③由（2）得$\frac{OF}{ON}$=$\frac{6π}{4π}$=$\frac{3}{2}$，
而OF=ON+6，
解得ON=12，
即r=12，
因为$\frac{n•π•12}{180}$=4π，
解得n=60°；
（2）解：如图4，连结EF，OB，它们相交于点P，
∵四边形ABCD为正方形，
∴OA=OC，∠OBC=45°，
∵∠OEF=60°，OE=OF，
∴△OEF为等边三角形，
∴EF=OF=18，
在Rt△AOE和Rt△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OE=OF}\\{OA=OC}\end{array}\right.$，
∴Rt△AOE≌Rt△COF，
∴AE=CF，
∴BE=BF，
∴OB垂直平分EF，
∴PF=$\frac{1}{2}$EF=9，
∴OP=$\sqrt{1{8}^{2}-{9}^{2}}$=9$\sqrt{3}$，
∵△PFB为等腰直角三角形，
∴PB=PF=9，
∴OB=9$\sqrt{3}$+9，
∴OC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OB=$\frac{9\sqrt{6}+9\sqrt{2}}{2}$，
即正方形纸片的边长为$\frac{9\sqrt{6}+9\sqrt{2}}{2}$cm．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆的有关性质和正方形的性质；记住弧长公式；学会把几何题展开成平面图形的方法解决几何体的问题．