Question

已知▱ABCD的一组邻边AB、AD的长是关于x的方程x²﹣4x+m=0的两个实根．

（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？

（2）在第（1）问的前提下，若∠ABC=60°，求▱ABCD的面积．

　

　

Answer 1

【考点】菱形的判定与性质；根的判别式；平行四边形的性质．

【分析】（1）四边形ABCD是菱形时，AB=AD，由一元二次方程根的判别式=0即可求出m的值；

（2）连接AC、BD交于点O，由一元二次方程的根求出AB的长，进一步利用菱形的性质和30°角的直角三角形的性质求得对角线的长，利用面积计算方法计算得出答案即可．

【解答】解：（1）四边形ABCD是菱形时，AB=AD，

∵AB，AD的长是关于x的方程x²﹣mx+4=0的两个实数根，

∴△=（﹣4）²﹣4m=0，

解得：m=4，

∴当m=4时，四边形ABCD是菱形

（2）如图，连接AC、BD交于点O，

当m=4时，

x²﹣4x+4=0，

解得：x₁=x₂=2，

则AB=2，

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，

∴∠ABO=∠ABC=30°，

D═2OB，AC=2OA，AC⊥BD，

在直角△AOB中，

∵∠ABO=30°，

∴OA=AB=1，

0B=，

BD=2OB=2，

AC=2OA=2，

∴S_菱形ABCD=BD•AC=×2×2=2．

【点评】本题考查了菱形的判定与性质，一元二次方程根的判别式；熟练掌握菱形性质，含30°角的直角三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．