Question

16．在正方形ABCD中，点E是边BC上的中点，在边CD上取一点F，使得AE平分∠BAF．
（1）依题意补充图形；
（2）小玲画图结束后，通过观察、测量，提出猜想：线段AF等于线段BC与线段CF的和．小玲把这个猜想与同学们进行交流．通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：
想法1：考虑到AE平分∠BAF，且∠B=90°．若过点E作EM⊥AF，则易证AM=AB=BC．这样，只需证明FM=FC即可．因∠EMF=∠C=90°，证FM=FC即证EF平分∠MEC，所以连接EF．
想法2：考虑到E是BC中点，若延长AE，交DC的延长线于点G，则易证CG=AB，则CF+BC=CF+CG=FG．要证AF=BC+CF，只需证FA=FG即可．
想法3：小米在课外小组学习了梯形中位线的相关知识，考虑到正方形ABCD所以有BC=AB，因此BC+CF=AB+CF，是梯形上、下底之和，结合“E是BC中点”，易联想到梯形中位线的性质，从而解决问题．
…
请你参考上面的想法，帮助小玲证明AF=BC+CF．（一种方法即可）

Answer 1

分析 （1）根据题意作出图形即可；
（2）想法1：作EM⊥AF于M，连接EF，根据已知和正方形的性质分别证明Rt△ABE≌Rt△AMERt，Rt△EMF≌Rt△ECF，得出EM=BE，FM=FC，从而得出结论；
想法2：如图3，延长AE、DC交于点G，根据全等三角形的性质得到AB=CG，∠1=∠G，由角平分线的性质得到∠1=∠2，等量代换得到∠2=∠G于是得到结论；
想法3：过中点E作EM∥AB，交AF于M．通过中位线的性质证明EM=$\frac{1}{2}$（AB+CF），从而得出结论．

解答 解：（1）补充图形，如图1所示；
想法1：如图2，作EM⊥AF于M．
∵∠B=90°，
∴∠B=∠AME=90°，
∵∠1=∠2，
∴BE=EM，
在Rt△ABE与Rt△AME中，$\left\{\begin{array}{l}{BE=EM}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△AME．
∴AM=AB=BC，EM=BE．①
连接EF，E是BC中点，
∴EC=BE=EM
在Rt△AEMF与Rt△ECF中$\left\{\begin{array}{l}{EM=EC}\\{EF=EF}\end{array}\right.$，
∴Rt△EMF≌Rt△ECF，
∴FM=FC、②
综合①、②得AF=AM+MF=BC+CF．

想法2：如图3，延长AE、DC交于点G，
∵E是BC中点，
∴BE=CE，
∵∠B=∠GCE，∠AEB=∠GEC，在△AEB与△GEC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠GEC}\\{BE=CE}\\{∠AEB=∠GEC}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△GEC，
∴AB=CG，∠1=∠G，
∵AE平分∠BAF，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠G
∴AF=FG=FC+CG，
∴AF=BC+CF；

想法3：如图4，过中点E作EM∥AB，交AF于M．则AM=MF，且∠1=∠2=∠3．
∴EM=AM=$\frac{1}{2}$AF
∵EM=$\frac{1}{2}$（AB+CF），
∴AF=AB+CF=BC+CF．

点评 本题考查了正方形的性质，及全等三角形的判定和性质．合理的将AF分成与BC，CF相等的两份是解题的关键，本题难度较大．