Question

9．如图：已知菱形ABCD，∠DAB=60°，延长AB到点E，使BE=AB，以CE为直径作⊙O，交BC、BE于点G、F．
（1）求证：AC⊥CE；
（2）若AB=4，求图中阴影部分的面积．（结果保留根号和π）

Answer 1

分析 （1）由菱形ABCD，∠DAB=60°，BE=AB，易得△BCE是等边三角形，即可求得∠ACE=90°，继而证得结论；
（2）首先连接OG，OF，过点O作OH⊥BE于点H，可得四边形BFOG是菱形，△OCG与△OEF是等边三角形，然后由S_阴影=S_菱形BFOG-S_扇形OFG求得答案．

解答 （1）证明：∵菱形ABCD，∠DAB=60°，
∴∠CAB=$\frac{1}{2}$DAB=30°，AB=BC，∠ABC=180°-∠DAB=120°，
∴∠CBE=60°，
∵BE=AB，
∴BE=BC，
∴△BCE是等边三角形，
∴∠E=60°，
∴∠ACE=180°-∠CAB-∠E=90°，
即AC⊥CE；

（2）解：连接OG，OF，过点O作OH⊥BE于点H，
∵OF=OE=OG=OC，∠E=∠BCE=60°，
∴△OCG与△OEF是等边三角形，
∴∠COG=∠EOF=60°，
∴∠GOF=60°，
∵AB=4，
∴CE=BE=4，
∴EF=BF=2，
∴OH=OE•sin60°=$\sqrt{3}$，
∴BF=OF=OG=BG，
∴四边形BFOG是菱形，
∴S_阴影=S_菱形BFOG-S_扇形OFG=2×$\sqrt{3}$-$\frac{60×π×{2}^{2}}{360}$=$2\sqrt{3}-\frac{2}{3}\pi$．

点评 此题考查了菱形的性质与判定、等边三角形的判定与性质以及扇形的面积．注意准确作出辅助线是解此题的关键．