Question

8．关于x的一元二次方程（m-2）x²+（2m+1）x+m-2=0有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是$\frac{3}{4}$＜m＜2．

Answer 1

分析 设一元二次方程的两个根分别为x₁，x₂，根据方程有两个不相等的实数根可得出△＞0，x₁+x₂＞0，x₁•x₂＞0，由此可得出m的取值范围．

解答 解：设一元二次方程的两个根分别为x₁，x₂，
∵关于x的一元二次方程（m-2）x²+（2m+1）x+m-2=0有两个不相等的正实数根，
∴△＞0，x₁+x₂＞0，x₁•x₂＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}△=（2m+1）^{2}-4（m-2）^{2}＞0①\\{x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{2m+1}{m-2}＞0②\\{x}_{1}•{x}_{2}=\frac{m-2}{m-2}＞0\end{array}\right.$，
由①得m＞$\frac{3}{4}$，
由②得-$\frac{1}{2}$＜m＜2．
故m的取值范围是：$\frac{3}{4}$＜m＜2．
故答案为：$\frac{3}{4}$＜m＜2．

点评 本题考查的是根的判别式，根据题意列出关于x的不等式组是解答此题的关键．