Question

11．如图，直线y=mx与双曲线y=$\frac{k}{x}$相交于A、B两点，A点的坐标为（1，2），AC⊥x轴于C，连结BC．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）根据图象直接写出当mx＞$\frac{k}{x}$时，x的取值范围；
（3）在平面内是否存在一点D，使四边形ABDC为平行四边形？若存在，请求出点D坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把A坐标代入一次函数解析式求出m的值，确定出一次函数解析式，把A坐标代入反比例解析式求出k的值，即可确定出反比例函数解析式；
（2）由题意，找出一次函数图象位于反比例函数图象上方时x的范围即可；
（3）存在，理由为：由四边形ABDC为平行四边形，得到AC=BD，且AC∥BD，由AC与x轴垂直，得到BD与x轴垂直，根据A坐标确定出AC的长，即为BD的长，联立一次函数与反比例函数解析式求出B坐标，即可确定出D坐标．

解答 解：（1）把A（1，2）代入y=mx得：m=2，
则一次函数解析式是y=2x，
把A（1，2）代入y=$\frac{k}{x}$得：k=2，
则反比例解析式是y=$\frac{2}{x}$；
（2）根据图象可得：-1＜x＜0或x＞1；
（3）存在，理由为：
如图所示，四边形ABDC为平行四边形，
∴AC=BD，AC∥BD，
∵AC⊥x轴，
∴BD⊥x轴，
由A（1，2），得到AC=2，
∴BD=2，
联立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{y=\frac{2}{x}}\end{array}\right.$，
消去y得：2x=$\frac{2}{x}$，即x²=1，
解得：x=1或x=-1，
∵B（-1，-2），
∴D的坐标（-1，-4），同法可得D′（-1，0），D″（3，4）．
故满足条件的点D坐标为（-1，-4）或（-1，0）或（3，4）

点评 此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数解析式以及反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点，平行四边形的性质，以及坐标与图形性质，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．