Question

如图，在△ABC中，D是BC的垂直平分线DH上一点，DF⊥AB于F，DE⊥AC交AC的延长线于E，且BF=CE．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若∠BAC=80°，求∠DCB的度数．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质,线段垂直平分线的性质

专题：

分析：（1）连接BD，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BD=CD，再利用“HL”证明Rt△BDF和Rt△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=DF，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠CDE=∠BDF，求出∠BDC=∠EDF，再根据四边形的内角和定理求出∠EDF，然后根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．

解答：（1）证明：如图，连接BD，
∵DH垂直平分BC，
∴BD=CD，
在Rt△BDF和Rt△CDE中，

BD=CD BF=CE

，
∴Rt△BDF≌Rt△CDE（HL），
∴DE=DF，
∵DF⊥AB于F，DE⊥AC，
∴AD平分∠BAC；

（2）解：∵Rt△BDF≌Rt△CDE，
∴∠CDE=∠BDF，
∴∠BDC=∠EDF，
∵∠BAC=80°，
∴∠EDF=360°-90°×2-80°=100°，
∴∠BDC=100°，
∵BD=CD，
∴∠DCB=

1

2

（180°-100°）=50°．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等腰三角形的性质，熟记各性质是解题的关键，难点在于（2）求出∠BDC=∠EDF．