Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB如图放置，点P是AB边上的一点，过点P的反比例函数y=

k

x

（k＞0，x＞0）与OA边交于点E，连接OP．
（1）如图1，若点A的坐标为（3，4），点B的坐标为（5，0），且△OPB的面积为5，求直线AB和反比例函数的解析式；
（2）如图2，若∠AOB=60°，过P作PC∥OA，与OB交于点C，若PC=

1

2

OE，并且△OPC的面积为

3 3

2

，求OE的长．
（3）在（2）的条件下，过点P作PQ∥OB，交OA于点Q，点M是直线PQ上的一个动点，若△OEM是以OE为直角边的直角三角形，则点M的坐标为

 

．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）过点P作PD⊥OB于点D，根据点B的坐标为（5，0），且△OPB的面积为

5

2

求出PD的长，求出直线AB的解析式，故可得出P点坐标，利用待定系数法求出反比例函数的解析式即可；
（2）先根据勾股定理求出OA的长，△OPC的面积为

3 3

2

求出OC的长，再由PC∥OA可知△BCP∽△BOA，故可得出OC的长，由PC=

1

2

OE即可得出OE的长．
（3）先求得E的坐标，然后根据直线OA求得OM或EM的解析式，把y=1代入解析式即可求得M的坐标；

解答：解：（1）过点P作PD⊥OB于点D，
∵点B的坐标为（5，0），
△OPB的面积为

5

2

，
∴

1

2

×5PD=

5

2

，解得PD=1，
设直线AB的解析式为
y=ax+b（a≠0），
∵A（3，4），B（5，0），
∴

3a+b=4 5a+b=0

，解得

a=-2 b=10

，
∴直线AB的解析式为y=-2x+10，
当y=1时，-2x+10=1，解得x=

9

2

，
∴P（

9

2

，1），
∵点P的反比例函数y=

k

x

（x＞0）上，
∴1=

k

9 2

，解得k=

9

2

，
∴反比例函数的解析式为：y=

9

2x

；

（2）∵点A的坐标为（3，4），
∴OA=

32+42

=5，
∵△OPC的面积为

3

2

3

，
∴

1

2

OC×1=

3

2

3

，解得OC=3

3

，
∴BC=5-3

3

，
∵PC∥OA，
∴△BCP∽△BOA，
∴

PC

OA

=

BC

OB

，即

PC

5

=

5-3 3

5

，解得PC=5-3

3

，
∵PC=

1

2

OE，
∴OE=10-6

3

．

（3）∵点A的坐标为（3，4），
∴直线OA为：y=

4

3

x，
∵反比例函数的解析式为：y=

9

2x

；
∴E（

3 6

4

，

6

），
当∠EOM=90°时，直线OM为：y=-

3

4

x，
∵P（

9

2

，1），
∴1=-

3

4

x，解得x=-

4

3

，
∴M（-

4

3

，1），
当∠OEM=90°时，直线EM为：y=-

3

4

x+b，
∵E（

3 6

4

，

6

），
∴

6

=-

3

4

×

3 6

4

+b，解得：b=2

6

，
∴直线EM为y=-

3

4

x+2

6

，
∵P（

9

2

，1），
∴1=-

3

4

x+2

6

，解得：x=

8 6 -4

3

，
∴M（

8 6 -4

3

，1）
∴M的坐标为（-

4

3

，1）或（

8 6 -4

3

，1）；

点评：本题考查的是反比例函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式、相似三角形的判定与性质等知识，难度适中．