Question

探索与研究：
小明和小红周日在家研究正方体问题，下面是两人研究问题的分工情况：
小红：将一个正方体的表面涂上红色，再将每条棱长三等分，沿三等分点将正方体切开成若干个大小相同的小正方体，然后观察每个小正方体的表面涂上红色的情况，请你帮她填写结果：没涂色的小正方体有

 

个，一面涂色的小正方体有

 

个，二面涂色的小正方体有

 

个，三面涂色的小正方体有

 

个．
小明：将一个正方体的表面涂上红色，再将每条棱长四等分，沿四等分点将正方体切开成若干个大小相同的小正方体，然后观察每个小正方体的表面涂上红色的情况，请你帮他填写结果：没涂色的小正方体有

 

个，一面涂色的小正方体有

 

个，二面涂色的小正方体有

 

个，三面涂色的小正方体有

 

个．两人根据结果提出了大胆的猜想：如果将棱长三等分、四等分引申为将棱长N等分，以上每种情况又会怎样呢？请你给予解答：

Answer 1

考点：规律型：图形的变化类,认识立体图形

专题：

分析：根据正方体的性质可发现顶点处的小方块三面涂色，除顶点外位于棱上的小方块两面涂色，涂色位于表面中心的一面涂色，处于正中心的没涂色．依此可得到（1）棱三等分时的所得小正方体表面涂色情况；（2）棱四等分时的所得小正方体表面涂色情况；由此得出棱n等分时的所得小正方体表面涂色情况．

解答：解：将每条棱长三等分：
没涂色的小正方体有1个，一面涂色的小正方体有1×6=6个，二面涂色的小正方体有1×12=12个，三面涂色的小正方体有8个．
将每条棱长四等分：
没涂色的小正方体有2×2×2=8个，一面涂色的小正方体有2×2×6=24个，二面涂色的小正方体有2×12=24个，三面涂色的小正方体有8个．
…
将每条棱长n等分：
没涂色的小正方体有（n-2）×（n-2）×（n-2）=（n-2）³个，一面涂色的小正方体有（n-2）×（n-2）×6=6（n-2）²个，二面涂色的小正方体有12（n-2）个，三面涂色的小正方体有8个．
故答案为：1，6，12，8；8，24，24，8．

点评：此题主要考查了立体图形的认识和用特殊归纳一般规律的方法．关键是通过正方体的特点来得到有关涂色情况的规律．