Question

3．如图，Rt△ABC，∠B=90°，AC的垂直平分线交BC于点E，垂足为点O，过点A作BC的平行线，与直线OE交于点D，若AB=4，BC=6，则AD的长为$\frac{13}{3}$．

Answer 1

分析 直接利用勾股定理得出AC的长，再利用相似三角形的判定与性质得出EC的长，再利用全等三角形的判定与性质得出答案．

解答 解：如图所示：∵Rt△ABC，∠B=90°，AB=4，BC=6，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=2$\sqrt{13}$，
∵AC的垂直平分线交BC于点E，
∴∠EOC=90°，AO=CO=$\sqrt{13}$，
又∵∠C=∠C，
∴△ACB∽△ECO，
∴$\frac{CO}{BC}$=$\frac{EC}{AC}$，
则$\frac{\sqrt{13}}{6}$=$\frac{EC}{2\sqrt{13}}$，
解得：EC=$\frac{13}{3}$，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠C，
在△AOD和△COE中
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠DAO=∠C}\\{AO=CO}\\{∠AOD=∠COE}\end{array}\right.$，
∴△AOD≌△COE（ASA），
∴EC=AD=$\frac{13}{3}$．
故答案为：$\frac{13}{3}$．

点评 此题主要考查了勾股定理以及相似三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质等知识，正确得出EC的长是解题关键．